數度衍 (四庫全書本)/卷01
| 數度衍 卷一 |
欽定四庫全書
數度衍卷一
桐城 方中通 撰
珠算
加法〈一曰上法〉
一上一 一下五去四 一退九進一十〈進一位上一子非専指一十數也〉二上二 二下五去三 二退八進一十
三上三 三下五去二 三退七進一十
四上四 四下五去一 四退六進一十
五上五 五退五進一十
六上六 六上一去五進一十 六退四進一十七上七 七上二去五進一十 七退三進一十八上八 八上三去五進一十 八退二進一十九上九 九上四去五進一十 九退一進一十式有物一十二又五十四問共若干曰六十六術一上一二上二此即一十二也大在左前小居右後故一十在左而二在右也五上五與一十同位四下五去一與二同位此加五十四在一十二之上也合為六十六矣
減法〈一曰退法〉
一退一 一退十還九〈左位退一子本位上九〉一上四退五二退二 二退十還八 二上三退五
三退三 三退十還七 三上二退五
四退四 四退十還六 四上一退五
五退五 五退十還五
六退六 六退十還四
七退七 七退十還三
八退八 八退十還二
九退九 九退十還一
式有物六十六内欲減去五十四尚餘若干曰一十二術置六十六於盤中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所餘為一十二矣
因乘法
一一如一
一二如二 二二如四
一三如三 二三如六 三三如九
一四如四 二四如八 三四一十二 四四一十六一五如五 二五一十 三五一十五 四五二十五五二十五
一六如六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七如七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三八九七十二 九九八十一
術曰一位曰因二位曰乘有法有實以法乘實為所求數也然法實亦可互用故曰相乘一位法者相因得數而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起諸位法畢然後乘法首位也以法乘實先乘實右末位向左逐位遍乘乘畢而實數即變為所求數矣有䑕尾乘破頭乘皆不適用故不錄
因式有三百六十五人毎人八兩問共若干曰二千九百二十兩術以三百六十五人為實列盤左以八兩為法列盤右先以八乘實末寅位五曰五八得四十變寅位五為四次以八乘丑實六曰六八四十八變丑位六為四加八於寅位四上曰八退二進一十則寅位之四又變為二丑位之四曰一下五去四又變為五次以八乘子實三曰三八二十四變子位三為二加四於丑位五上為九乘畢得二千九百二十兩也
通曰凡左右相乘必有二位數曰㡬十㡬今如一位法者十當在本位零當在下位也本位者所乘實數之位也下位者僅下所乘實數一位也如八乘五則五為本位得四十則四當在五位上也八乘六則六為本位得四十八則四當在六位上八當在下位也八乘三則三又為本位矣
因乘式有三百六十五人毎人一十二兩問共若干曰四千三百八十兩術以三百六十五人為實一十二兩為法先以第二位乙法二乘寅實五曰二五一十一在夘位然後以法首一乘寅實五曰一五如五五加在夘位一上為六次以乙法二乘丑實六曰二六一十二一在寅位二加在夘位六上為八以甲法一乘丑實六曰一六如六六加在寅位一上為七次以乙法二乘子實三曰二三如六六加在寅位七上七變為三而
丑位上一矣以甲法一乘子實三曰一三如三三加在丑位一上為四得四千三百八十兩也
通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰㡬十㡬十當在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首變之耳如乙法二乘寅實五得一十則一當在夘位也甲法一乘寅實五得五五乃零數當在下位之下故亦在夘位上也盖以寅為本位之時則夘為下位辰為下位之下也以丑為本位之時寅為下位夘為下位之下也
因乘定位法
式三百六十五人毎人一十二兩共得四三八問四為何數曰千數術通曰以法首齊實首布列甲子同位乙丑同位從丑下一位呼實首百是寅位為百矣向左推
去丑為千位遇變後得數之始而止
今變後之首在丑即知四為千也但
法末必單數乃可如今一十二兩是
也若一兩二錢或一百二十兩則不
同矣總以單數為率下則順推上則逆推可耳又術通曰視得數之首在實之何位上今在實之十位上又視法有㡬位今有二位當以十升二位曰百曰千亦知為千也
定身因乘法
式有三百六十五人毎人一十二兩問共若干曰四千三百八十兩術置實數以法一十二除首一不用以乙二為法先以法二乘寅五曰二五一十加一於寅為六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一於丑六為七加二於寅六為八次以法二乘子三曰二三如
六加六於丑七變七為三變子三為四合問
通曰凡法首遇一者用之其在位實數即作甲法之乘數矣多位法者以乙法為首從丙法乘起粟布章斤求兩用身加六
歸除法
一
二一添作五 逢二進一十
三一三餘一 三二六餘二 逢三進一十
四一二餘二 四二添作五 四三七餘二 逢四進一十
五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六 五四倍作八 逢五進一十
六一下加四 六二三餘二 六三添作五 六四六餘四 六五八餘二 逢六進一十
七一下加三 七二下加六 七三四餘二 七四五餘五 七五七餘一 七六八餘四 逢七進一十八一下加二 八二下加四 八三下加六 八四添作五 八五六餘二 八六七餘四 八七八餘六逢八進一十
九一下加一 九二下加二 九三下加三 九四下加四 九五下加五 九六下加六 九七下加七九八下加八 逢九進一十
術曰一位曰歸二位曰除〈一曰混歸〉有法有實以法除實得所求數也一位法者止用歸法多位法者法首歸得某數次法乘其數而除實自左向右以逐位法除實實亦自左向右挨次除之除畢一遍又以法首歸之次法除之以實盡為度變後數即所求數也又有無除撞歸二法訣曰惟有歸除法最奇將身歸了次除之有歸若是無除數起一還將原數施若遇本歸歸不得撞歸之法不須遲俱詳後
通曰二與五四與二十五因歸皆可互用又三與六可當一十八四與六可當二十四凡數之相通者甚多亦在乎熟之而已
歸式有銀二千九百二十兩八人分之問各若干曰三百六十五兩術以二千九百二十兩為實八人為法以法八歸子實二曰八二下加四將子實二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九變為十三盖不用四退六進一十者歸後數上止可加歸得數不可加餘實也次以法八歸丑十三曰逢八進一十於子位歸後二
上加一為三丑實存五又以法八歸丑五曰八五六餘二丑五變為六寅二加二為四乃以法八歸寅四曰八四添作五寅四變為五而實盡矣得三百六十五兩也通曰凡曰下加曰餘㡬皆歸後而有餘實也如今八人分二千兩各得二百共去實一千六百存實四百故曰八二下加四也又如今之八五六餘二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存實二十也凡曰添作㡬乃歸實無餘者也如今八四添作五乃八人分四十兩各得五兩而實盡也凡曰進㡬十者乃實内滿㡬歸之數也滿一遍進一十滿二遍進二十如今八歸曰逢八進一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰進一也進在實前餘在實後歸變本實切勿錯位歸除式有銀四千三百八十兩三百六十五人分之問各若干曰一十二兩術以四千三百八十為實三百六十五為法先以法首三歸實首四曰逢三進一十於子位上一丑減三存一乃以乙法六乘歸後子一曰一六如六於寅位除六曰六退十還四抹去丑一寅三加四為七又以丙法五乘歸後子一曰一五如五於夘八除五存三而法位畢矣第二遍再以法首三歸寅位存實七曰逢六進二十於丑上二寅減六存一乃以乙法六乘第二遍歸後丑二曰二六一十二於寅除一夘除二又以丙法五乘第二遍歸後丑二曰
二五一十於卯除一而法位又畢矣實未盡則又用前法今實巳盡得一十二兩也
通曰凡歸數即變實之本位除數當除實之下位本位者歸後數所在之位也除實之下位者即本位之下一位也此與本實不同本實有時即本位有時乃本位之下位也除之十數在下位而零數又在下位之下也如法三歸實四曰逢三進一十四為本實進在實前故所歸之一當在四前子位也而本實之四變為一矣一在子上則子為本位也乙法六乘歸數除實曰一六如六此零數也故於寅除六此子為本位而寅為下位之下耳若第二遍乙法除實曰二六一十二則於寅除一夘除二矣此丑為本位也
無除法
一歸起一還一 二歸起一還二〈至九歸起一還九〉式有銀一百零八兩二十七人分之問各若干曰四兩術置銀為實人為法以法首二歸實首一曰二一添作五變子為五乙法七當乘歸數五為三十五於丑寅内除之而丑位無實可除今乃二歸曰起一還二起子位歸數五内之一改五為四而還丑位二為存實肰後以乙法七乘歸數四曰四七二十八於丑除二十寅除八實盡得四兩也
通曰凡起㡬還㡬者歸後之一子即當其㡬歸之數也如今二歸曰二一添作五是五内一字當二子也故起一即還二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
撞歸法
見一無除作九一 見二無除作九二〈至見九無除作九九〉式有銀二百一十六兩二十四人分之問各若干曰九兩術置銀為實人為法以法首二歸實首二若用逢二進一十則乙法之一四如四丑一數不足除矣此乃二歸曰見二無除作九二變子二為九加二於丑一為三然後以乙法四乘歸數九曰四九三十六於丑除
三十寅除六實盡得九兩也
通曰凡撞歸者皆不可得十止可得
九也法實首數同而次實少於次法
者用之盤梁上有三子始便
除歸定位法
式三百六十五人分四千三百八十兩得一二問一為
何數曰十數術通曰以法布列實左
法末僅在實首四之上位從列法首
之子位呼實首千數順右而下丑為
百寅為十遇變後得數之首位而止
今變數首一在寅即知一為十數也但法末必單數乃可如五箇半人則須除去半人不列位矣如三百六十人又須列○作一位矣又術通曰視得數之首在實之何位今在實之千前一位乃萬位也又視法有㡬位今有三位當以萬降三位曰千曰百曰十亦知一為十也
定身歸除法
式有銀九十一兩一十三人分之問各若干曰七兩置銀為實人為法以法首一除去不用止用乙法三於實首九内存身減之當存七乃以法三乘七曰三七二十一於子實内存七外減二十又減丑一實盡合問
通曰凡存數有定非可隨意而存也如今式
子九内存八則下無二十四可減存六則減一十八外餘實又多故定於七也法首遇一用此粟布章兩求斤用減六存身
商除法
式有銀三千零一十五兩六十七人分之問各若干曰四十五兩術置銀為實人為法以法首六十於實首三千内商有㡬回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四為二十四於子除二丑除四曰四退十還六共除二
千四百以乙法七乘所商四為二十八於丑除二寅除八曰八退十還二又除二百八十餘實三百三十五次以法六十於三百内商有㡬回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五為三十於丑除三又除三百以乙法七乘次商五為三十五於寅除三夘除五又除三十五實盡合問
通曰凡商數有定如今初商五十則實不足除次法商三十則實餘太多故定當四十耳若論盤中變位得數法首多於實首者列商數於實左一位法首少於實首者列商數於實左隔一位挨次商列即得變數
折半法
式有銀六十四兩八人分之問各若干曰八兩術置法實以法八折半為四實六十四折半為三十二又以法折半為二實折半為一十六再以法折半為一實折半為八法折至一數而止即存實八為各得數也凡法遇偶數者可用此
乘除㨗法〈即金蟬蜕殻〉
因乘訣曰起雙下加倍見一只還原倍一挨身上餘皆隔位遷歸除訣曰加雙下除倍加一下除原陪一挨身除餘皆隔位遷
乘式有米三石五斗毎斗價銀七分問共銀若干曰二兩四錢五分術置米為實以價七分為原數倍得一錢四分為倍數先於實末五斗上呼起雙下加倍起去二斗挨身上一錢次位上四分再起二斗挨身上一錢四分却呼見一只還原起去一斗隔位上七分次於三石上呼起雙下加陪起二石挨身上一兩四錢却呼見一只還原起一石隔位上七錢合問
又式有布五十七疋毎疋價銀二錢五分問共銀若干曰一十四兩二錢五分術置布為實以價二錢五分為原數倍得五錢為倍數先於實末七疋内起三箇二疋挨身上三箇五錢又起一疋挨身上二錢五分次於五十疋内起兩箇二十疋挨身上兩箇五兩又起一十疋挨身上二兩五錢合問
通曰前式價是分倍是錢則倍數挨身上原數隔位上後式價是錢倍亦是錢故倍數原數俱挨身上
除式有錢二千二百五十文給九十人問毎人若干曰二十五文術置錢為實以九十人為原數倍得一百八十人為倍數先於實首二千前挨身呼加雙下除倍除實一千八百餘實四百五十次於四百前挨身呼加雙下除倍除實一百八十又呼加雙下除倍除實一百八十再呼加一下除原隔位除九十合問
又式有油四百二十斤毎油七斤半換豆一斗問共換豆若干曰五石六斗術置油為實以七斤半為原數倍得一十五斤為倍數先於實首四百前加兩箇雙除兩箇一百五十斤又加一除七十五斤次於餘實四十五斤前加三箇雙除三箇一十五斤合問
通曰又有二句除訣曰有除隔位進無除挨身進止用原數從實前隔一位起毎上一子除一遍原數乘法則毎抺去實尾一子挨身上一遍原數不足為法姑附於此
流法
乘式有田九百八十一畆毎畆一分八釐九毫問共若干曰一十八兩五錢四分零九釐術先以法一分八釐九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃從實末因之遇某數即用某訣有十字者破本身起餘皆挨身一位起也
除式有銀一十八兩五錢四分零九毫派在九百八十一畆問毎畆若干曰一分八釐八毫九絲九不盡術先以法九百八十一畆衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一 一亦從實末因之遇某數用某訣挨身一位起也
通曰法數有定者方可用此然止乘可用除則不盡也
乘除新法
歸除訣曰進一空除原〈實首多等于原數及少于半數者用此〉進二空除倍〈實首多等于倍數及少于半數者用此〉進二隨除倍〈實首少于半數而倍數首一者用此〉進五空除半〈實首有餘而原數首一者用此〉進五隨除半〈實首多等于半數者用此〉因乘訣曰除一空加原〈實尾正一數者用此有時隔一位加原數〉除二空加倍〈實尾二三四數者用此有時隔一位加倍數〉除二隨加倍〈實尾二三四數而倍數首一者用此〉除五空加半〈實尾五六七八數而原數首一者用此〉除五隨加半〈實尾五六七八數者用此〉
除式通曰有銀八十七兩二錢四分二釐四人分之以銀八七二四二為實數以人四為原數加倍得八為倍數以人四折半得二為半數列定從左除起視實數左首多於倍數或等於倍數當用進二空除倍乃於實左空一位上二於實首除倍數八再視餘實左首少於倍數或多等於原數當用進一空除原乃於實左空一位上一於餘實首除原數四再視餘實左首少於原數或多等於半數當用進五隨除半乃於實左位上五不須空位於餘實首除半數二再視餘實左首少於半數亦當用進一空除原乃於實左位上一不須空位但於餘實左首向右退一位除原數四再視餘實首等於倍數當用進二空除倍再視餘實首等於原數當用進一空除原再視餘實等於半數當用進五隨除半實數除盡毎人分得二十一兩八錢一分零五毫此式先用進二空除倍次用進一空除原次用進五隨除半餘實首一二作一十二亦可用進二空除倍乃於餘實左位上二不須空位但於餘實左首向右退一位除倍數八次用進一空除原次又用進一空除原次用進五隨除半亦合
乘還原式通曰以毎人分得銀二一八一零五為實數其倍數原數半數俱如前不動從右乘起視實右尾過五以上當用除五隨加半乃於實尾去五隨下位加半數二不須空位再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實尾過五當用除五隨加半乃於餘實尾去五隨下位加半數二再視餘實尾過二當用除二空加倍乃於餘實尾去二空一位加倍數八再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實尾止一數當用除一空加原乃於餘實尾去一空一位加原數四再視餘實滿二當用除二空加倍乃於餘實尾去二空一位加倍數八共得八十七兩二錢四分二釐原首一數除式通曰有銀四十五兩六錢為實數一十二人分之為原數倍數二四半數六視實首多於倍數用進二空除倍再視餘實多於原數用進一空除原再視餘實多於倍數兩倍以上而原首係一數此為實數有餘當用進五空除半須空一位除之再視餘實多於倍數當用進二空除倍再視餘實等於原數當用進一空除原毎人分得三兩八錢
乘還原式通曰以三八為實倍原半如前實尾過五係原首遇一者當用除五空加半餘實尾過二用除二空加倍餘實尾止一數用除一空加原餘實尾過二用除二空加倍餘實止一數用除一空加原共得四十五兩六錢
倍首一數除式通曰有銀四十一萬三千三百二十六兩二錢八分四釐為實數七千三百五十六人分之為原數倍數一四七一二半數三六七八實首多於半數用進五隨除半餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於原數用進一空除原餘實首少於半數用進一空除原餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於倍數係倍首遇一者當用進二隨除倍不空位餘實首少於半數用進一空除原餘實首多於半數用進五隨除半餘實首多於倍數用進二隨除倍餘實等於倍數亦用進二隨除倍毎人分得五十六兩一錢八分九釐乘還原式通曰以五六一八九為實倍原半如前實尾過五用除五隨加半餘實尾過二係倍首遇一者當用除二隨加倍不空位餘實尾滿二亦用除二隨加倍餘實尾過五用除五隨加半餘實尾過二用除二隨加倍餘實尾止一數用除一空加原餘實尾又止一數用除一空加原餘實尾過五用除五隨加半餘實尾止一數用除一空加原餘實滿五用除五隨加半共得四十一萬三千三百二十六兩二錢八分四釐
附正珠乘除新法
以減代乘法
男正珠曰不用因乘而以減法代之數亦天然符合其術須變法數如一位法者作單數於十内減之餘者為變數二位法者作㡬十㡬數於百内減之餘者為變數三位法者作㡬百㡬十㡬數於千内減之餘者為變數法既變後乃將變法與實呼減之呼實則自右向左呼法則自左向右逐位呼減減畢餘實即為所求數也
因式
有一百二十人毎人二兩問共若干曰二百四十兩術珠曰先將法二於十内減之餘八即八為變法也以變法八呼丑實二曰二八除十六乃於丑二内除一又當於寅位除六曰六退十還四丑空位寅存四再以變法
八呼子實一曰一八除八當於丑位除八曰八退十還二子位空丑存二逐位減畢即丑餘之二寅餘之四為所求二百四十兩也
因乘式
有一百二十人毎人二兩一錢問共若干曰二百五十二兩術珠曰此二位法也將法二兩一錢作二十一於百内減之餘七十九為變法先以甲法七呼丑實二曰二七除一十四乙法九呼丑實二曰二九除一十八皆於丑實二内除之此如以丑二作二百先除一百四十後除一十八止存四十二也
故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子實一曰一七除七乙法九呼子實一曰一九除九此如以子一作一百先除七十後除九也曰七退十還三子位空丑上三曰九退十還一丑存二上一於寅存四上為五夘仍存二逐位減畢即丑餘之二寅餘之五夘餘之二為所求二百五十二兩也
以加代除法
珠曰歸除之法有可以加法代者更為易簡其術亦須變法數與前因乘相同法既變後乃將歸實暗數與變法呼加之暗數者視原法數在實内有㡬回也即用其㡬回之數為暗數耳以變法與暗數相呼加於實數之上逐位呼加加畢則其得數與歸除無異也
歸式
式一有銀一百二十兩二人分之問各若干曰六十兩術珠曰先將法二於十内減之餘八即八為變法也五一兩數是為子丑兩暗數子實一作一十内有五回原法二也丑
實二内有一回原法二也先以變法八呼子暗數五曰五八得四十乃於子實一上
加四為五再以變法八呼丑暗數一曰一八如八當於丑實二上加八數巳滿十曰八退二進一十乃退去丑位二而於子位五進一為六逐位加畢視子位逓加之六即所求之分數為毎人各得六十兩也式二有銀一百二十兩三人分之問各若干曰四十兩術珠曰先將法三於十内減之餘七即七為變法也三一兩數是為子丑兩暗數盖子實一十内有三回原法三餘合丑實二為三内有一回原法三也先以變法七呼子暗數三曰三七二十一乃於子實一
上加二為三丑實二上加一為三再以變法七呼丑暗數一曰一七如七當於丑位三上加七數巳滿十曰七退三進一十乃退去丑位三而於子位三進一為四逐位加畢視子位逓加之四即所求之分數為毎人各得四十兩也
歸除式
有銀一百二十兩二十四人分之問各若干曰五兩術珠曰先將法二十四人作二十四於百内減之餘七十六為變法五為暗數盖子實一作一百内有五回原甲法二十丑實二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以變法甲七呼暗數五曰五七三十五乃於子一上加三為四丑二上加五為
七此法之首位加畢矣再以變法乙六呼暗數五曰五六得三十當於丑位七上加三數巳滿十曰三退七進一十乃退去丑位七而於子位四上加一為五此法之次位加畢矣如是加畢則子位之五即所求之分數為毎人各得五兩也
數度衍巻一
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