數度衍 (四庫全書本)/卷02
| 數度衍 卷二 |
欽定四庫全書
數度衍卷二
桐城 方中通 撰
筆算上
加法
術曰列散數各横置以類相從〈十從十百從百〉大左小右自右併起零數紀本位下十進一位百進二位無零本位紀○諸位至左併畢即下紀數為所求總數也
進一位式有一萬零六百五十四又八千九百零七又五萬六千七百八十九又八百八十問共若干曰七萬七千二百三十術先併單數四七九為二十此有十無
零也本位紀○進二於左次併十數
五八八及單數所進之二為二十三
本位紀三進二於左次併百數六九
七八及十數所進之二為三十二本
位紀二進三於左次併千數八六及
百數所進之三為一十七本位紀七進一於左次併萬數一五及千數所進之一為七本位紀七合問
進二位式有散數如圖所列問共若干曰二萬三千七百五十二術先併單數為一百零二本位紀二進一於
左隔位此百進
二位也次併十
數為五本位紀
五次併百數及
單數所進之一
為一十七本位紀七進一於左次併千數及所進一為二十三本位紀三進二於左萬無數即紀所進二合問通曰多層者截作兩段三段為便如右試截上六層得總數一五六八一即將此數及下六層求得總數亦合
試加差法
術曰有九減七減二法九用見數而九減之七用實積數而七減之先減散數餘若干次減總數餘若干兩餘相比同則無差
九減式試第一式先減散數去○與九不入減併四七
五八八六七八八六一五共
為七十三九減餘一〈減去八九七十〉
二列乂左次併總數三二七七共為
一十九九減餘一〈減去二九一十八〉列乂右
左右相比數同無差
通曰此以見數為主不論千百位也
七減式試第一式散數首行之左一○作一十七減餘
七減餘一〈減二七一〉
〈十四〉次作一十四七減無餘右下紀○次行左八九作八十九七減餘五次作五十七減餘一次作一十七七減餘三右下紀三三行依法減餘五四行依法減餘五俱紀右下再以各行紀餘○三五五併為十三七減餘六乃以總數依法減之餘六左右列比無差
減法
術曰多者列上為原數少者列下為減數所求數為減餘從類列位自右減起下紀其餘也下數多於上數者
為不足減上○而下有數者為無可減二者用借法式有二千七百一十五減四百零二問餘若干曰二千三百一十三術原數列上減數列下減數首百從原數百下順列單位五内減二餘三抹去原數五本位紀三次十位一遇○無減本位仍紀一次百位七減四餘三抹去原數七
本位紀三次千位二遇無減數本位仍紀一合問用借式有四千八百四十減二千五百九十二問餘若干曰三千二百四十八術列原數減數單位○不能減二須借左原數一在本位作十減二餘八下紀八次十位原數四因右借一存三不能減九借左原數一在本位作十併存三為十三減九餘四下紀四次百位原數八因右借一
存七減五餘二下紀二次千位四減二餘二下紀二合問
用借用還式數如前式術單位○不能減二借左原數一在本位作十減二餘八乃於十位減數九加一作十以還借數四不能減十借左原數一在本位作十併四為十四減十餘四百位減數五加一作六以還借數八内減六餘二千位四減二餘二亦合
左減式數如前式術通曰舊法自右起今易自左起千位四内減二餘二抹去原數四減數二而變為二次百位八内減五餘三八變為二次十位四不能減九於百位變三内退一三又變為二十位四上加十為十四減九餘五四變為五次單位○不能減二於十
位變五内退一五又變為四單位○上作十減二餘八○變為八此法較便
試減差法
術曰一用如法試之以減數併減餘得原數或以減餘減其原數應與所減數合又有九減七減二法如試加然但以減數及減餘合為一處又如加之散數首行次行耳
用加法式試第一式以減數四百零二併減餘二千三百一十三為二十七百一十五合原數無差
用減法式試第一式以減餘二千三百一十三於原數二千七百一十五内減之餘四百零二合減數無差九減式試第一式先併減數四二及減餘二三一三共
為一十五九減餘六次併原數
二七一五為一十五九減餘六
左右列比無差
通曰九減用實積數亦可盖九數無往
不合故也
七減式試第一式先以減數之左四○作四十七減餘五次作五十二七減餘三又以減餘之左二三作二十三七減餘二次作二十一七減無餘次三不足減仍餘三俱紀右下乃以各數紀餘之三二併為六不足減仍
作六再以原數之左二七
作二十七七減餘六次作
六十一七減餘五次作五十五七
減餘六左右列比無差
乘法
術曰乘即因也用九因法上列原數〈即實數〉下列乘數〈即法〉數齊於右尾算即始右將下一位遍乘上諸位向左逐位紀所乘數於下盡下數乃止諸所紀為散數用加法得所求總數若定總首何數從乘數左首推至總數左首即知通曰凡以下乘上一數有二位左十右零右即本位也遇十有數而零亦有數者曰平〈三四一十二四四一十六之類〉本位紀零數左位紀十數遇十有數而零無數者曰足〈五四得二十五八得四十之類〉本位紀○而其數紀左位也遇十無數而零有數者曰如〈一三如三二三如六之類〉左位紀○而其數紀本位也舊法紀數每併為一令人難曉凡原尾有○而乘尾無○者雖○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾無○者即自乘數之有數位乘起若上下尾與中或俱有○者亦須乘之以存位下數乘上○下○乘上數皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○則本位左位俱紀○也
十因
式乘上下數不等少數尚未滿十乘數而少數不及於乘上下數如以八乘九何以得七十二術九在十内少一紀一於九右八在十内少二紀二於八右是八九為乘上下數一二為少數也上九下八上下數不等也一不及九二不及八少數不及也以少數一二相乘得二紀下二未滿十故曰未滿十乘數也
又以右一斜減左八右二斜減左九俱餘七數同下紀七故得七十二
又式乘上下數等少數未滿十乘數而少數不及於乘上下數如以八乘八何以得六十四術上下俱八故曰上下數等八在十内少二右俱紀二相
乘得四下紀四左右上下斜減俱餘六下紀六故得六十四
又式乘上下數等少數已滿十乘數而少數反過於乘上下數如以三乘三何以得九術上下俱三三在十内少七右俱紀七相乘得四十九已有四十故曰已滿十乘數也下紀九寄四於左左上下三各
加所寄四俱變為七然後左右上下斜減俱無餘下紀○故得九
又式乘上下數不等少數滿十乘數而少數不及於乘上下數如以六乘七何以得四十二術七在十内少三六在十内少四俱紀右相乘得一十二下紀二寄一於左左上七加一變為八下六加一變為七然後左右上下斜減俱餘四下紀四故得四十二又
術三四乘得一十二將一懸於左待左右上下斜減俱餘三乃併所懸之一為四亦合
通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛書之無十而藏十也
諸式
一位乘式有一百五十二人每人六兩問共若干曰九百一十二兩術列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位紀一本位紀二次以六乘五曰五六三十此足也左位紀三本位紀○次以六乘一曰一六如
六此如也左位紀○本位紀六所紀散數用加法合問乘數六是兩推至總數首為百
多位乘而原數中有○式有四千六百零八人每人三百二十五兩問共若干曰一百四十九萬七千六百兩術列數以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法紀
之此五之徧乘也次以二乘八
曰二八一十六以二乘○曰二
○如○以二乘六曰二六一十
二以二乘四曰二四如八如法
進位紀之此二之徧乘也次以
三乘八曰三八二十四以三乘
○曰三○如○以三乘六曰三
六一十八以三乘四曰三四一十二如法又進位紀之此三之徧乘也用加法合問
原數尾有○式有六百人每人六兩問共若干曰三千六百兩術以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至總首為
千
乘數尾有○式有四十五人每人六十兩問共若干曰二千七百兩術乘數尾有○雖不必乘然一○為十二○為百不可不列位列後從六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至總首為千
原數乘數尾俱有○式有六百人每人三百四十兩問
共若干曰二十萬零四千兩術列定
先以四徧乘次以三徧乘得總數尾
三○便於定位
通曰加減乘除皆可易横
為直而乘用直覺便故附
於此至於諸○立法不得
不存熟則不用矣
試乘差法
術曰九減七減如前但左右列數多一互乘得數又減之餘列上總數減餘列下上下相比也不用散數九減式試第二式除○九外併原數四六八為一十八
九減無餘列○於乂左併乘數
三二五為一十九減餘一列乂
右以左右一與○乘曰一○如○無數列○於乂上併總數一四七六為一十八九減無餘列○於乂下上下相比無
差
七減式試第四式原數如法減之餘三列乂左乘數如法減之餘四列乂右以左右三四乘得一十二七減餘
五列上總數如法減之餘五列
下上下相比無差
通曰九減用見數可去○九不用七減用實積數必存○九之位與數以便逐
位減至右末而止也
除法
術曰有實有法有用數實即原數列上法即除數列下用即所求分數也上下齊左從左起算下首少於上首者齊列下首多於上首者退位列之於右界格以法除實視法首於實内有㡬回即用㡬除之而紀其㡬除之數於格外為用數也原實變後即為餘實存上次法乘用數除實盡法位而止又將法數退一位列下〈一徧用數一徧退位與初列退位不同〉再視法首於餘實内有㡬回當用㡬除而又紀其㡬除之數於第一次用數之右次法又乘第二次用數除實也以法尾退至實尾齊右而止格外所紀為分數有餘實亦當存之再除實尾數即用尾數推而知用數之首也
通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有實者將左右兩實作為㡬十㡬也左有實而右無實者作㡬十也左無實而右有實者為零數也若遇實數可以除此一徧而不足以除下徧者則知用數中當有零矣詳後式
定列位
通曰其法有五不退者二退位者三與珠算無除説同盖不退者有可除之數也退者無可除之數也
諸式
退位式有三百四十二兩九人分之問各若干曰三十
八兩術法首九多於實首三當退位列法實首三四作三十四〈退位故作㡬十㡬也〉視三十四内有三回九當以三為用數紀格右以九乘三得二十七於三十四内除之抹去三變四為七次以法九退列餘實七二作七十二内有八回九當以八為次用數紀首用數三右於餘實内除八九七十二實盡俱抹去格右所紀三八即所求分數法
尾齊實尾兩數則知用數尾八為兩也
不退位及減用數式有八百五十五兩四十五人分之問各若干曰一十九兩術法首四少於實首八不退位實八即作八視八内有二回四當以二為用數但二四除實首八而次法二五除一十則無實可除遇此則減用數一止以一為用數一四除四一五除五次以法退列餘實四○作四十視有九回四當以九為
次用數四九除三十六五九除四十五實盡合問用數中當有○式有七萬六千零四十八兩八人分之問各若干曰九千五百零六兩術退位列法首用數該九八九除七十二又退位列法次用數該五五八除四十又退位列法八適至實之四下左無餘實四不足除遇此則紀○以當一徧用數又退位列法次用數該六六八除四十八實盡合問
通曰前式格外用數用横列今易為直盖横
直俱可用也
實尾有○式有三百兩六人分之問各若干曰五十兩退位列法首用數五五六除三十紀五於格
右實數盡矣尚有餘○乃退位列法次用數無數而紀○故知所得為五十兩也
通曰視實盡後法尾去實尾尚空㡬位毎空一位加一○於用數之右亦合
實不盡式有六百五十三兩五十八人分之問各若干曰一十一兩〈餘實一十五兩未分〉又各二錢五分〈餘實五錢未分〉術不退位列首用數該一 一五除五一八除八退位列法次用數該一一五除五一八除八法尾已齊實尾當暫止以察用尾為何數既知為兩數餘
實再除
術右式餘實一十五兩法當退位列用數該二二五除一十二八除一十六退位列法次用數該五五五除二十五五八除四十此用數首根前式用數尾下當是錢數也尚餘實俟再除
通曰初列實時先於實右加○每加一○作降實尾一數〈兩降錢錢降分〉即以○末為實尾較便
試除差法
術曰亦用九減七減其除畢無餘實者將除數減餘列左用數減餘列右左右相乘減餘列上原數減餘列下相比其未盡實者於左右乘後併入餘實減餘列上原數減餘列下比之若除實至半者亦以除數減餘列左用數減餘列右相乘又取本位〈法尾止處〉以前餘實減餘以併左右乘數再減餘列上以抺過原數減餘列下相比也
除無餘九減式試第一式除數九九減無餘左列○併
用數三八為一十一九減餘二
右列二乘無數列○於乂上併
原數三四二為九九減無餘列○於乂
上併原數三四二為九九減無餘列○於乂下上下相比無差
除有餘九減式試第五式併除數五八為一十三九減
餘四左列四併用數一一
為二不足九減右即列二
乘得八又併餘實一五為一十四
九減餘五列上併原數六五三為一十四九減餘五列下上下相比無差
除無餘七減式試第一式除數九作九七減餘二列左用數三八作三十八七減餘三列右乘得六不足七減
即列六於上原數三四作三十
四七減餘六次作六十二七減
餘六列下上下相比無差
除有餘七減式試第五式除數五八作五十八七減餘二列左用數一一作一十一七減餘四列右乘得八又
以餘實一五作一十五七
減餘一以此用一併左右
所乘八為九七減餘二列上原數
六五作六十五七減餘二次作二十三七減餘二列下上下相比無差
半除試差式除數六五用數一三原數八六六三餘實二一三 用九減併除數六五為一十一九減餘二列左又併用數一三為四不足九減右即列四乘得八乃併法尾止處以前之餘實二一為三不足九減即以此
三併左右所乘八為一十一
九減餘二列上併原數抺去
三位之八六六為二十九減
餘二列下上下相比無差
用七減除數六五作六十五七減餘二列左用數一三作一十三七減餘六列
右乘得一十二乃以法尾止處以前之餘實二一作二十一七減無餘與左右所乘數相併仍是一十二七減餘五列上原數抺去之八六作八十六七減餘二次作二十六七減餘五列下上下相比無差
通曰試差之法獨用九七何也盖十者數之窮也數窮則變十復為一故數始於一終於九九陽數也下九之陽數為七故七與九同用自七九而外或有合者於率不通不可立法所以加減試差用實積則無不可用見數則七與五不可也乘除試差用實積則亦無不可用見數則自九而外皆不可也若夫論除之餘六與三之餘同九是用九而六三可無用矣四與二之餘同八是用八而四二之餘可無用矣且八或可以試加減而或不可以試乘除亦不可用然則試差之法舍七與九又何所取用哉
命分法
術曰命分者一大㡬何已分㡬何命餘者為㡬何分之㡬何也又曰所餘之小㡬何再分㡬何命此得者為㡬何分之㡬何也
通曰第一術即㡬何原本之命比例法也第二術恰盡則可否則終不能盡也
式法數為母餘數為子如實數八萬七千二百四十八法數三百七十四法尾已齊實尾用數已得二三三尚有餘實一○六當命為三百七十四分之一百零六也又式得數為子得數前位為母得數一位為十二位為百三位為千也如右式餘實一○六先於六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也當命為千分之二百八十三也
數度衍巻二
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>
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