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測圓海鏡/卷06

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○大勾一十八問

或問:乙從東門直行一十六步,甲從乾隅東行三百二十步,望乙與城參相直。問答同前。

法曰:甲東行內減二之乙東行,複以乘甲東行為實,四之甲東行內減二之乙東行為從,四益隅。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以二之加乙東行得■為中勾,以中勾減於甲東行得■為勾率也。其天元半徑即股率也。置甲東行為大勾,以股率乘之得■元,合以勾率除之,不受除,便以此為大股(內帶勾率分母)。再置天元以二之,以勾率乘之得■,減於大股餘■為股圓差於上(內有勾率分母)。又以二之天元減甲東行,得 ■為小差,以乘上位得■為半段黃方冪(內有勾率分母。寄左)。然後以天元自之,又以勾率乘之,又就分倍之,得■為同數,與左相消得■。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門南行三十步而立,甲從乾隅東行三百二十步,望乙與城參相直。問答同前。法曰:甲乙相乘為實,甲東行為從,二虛法。平開得半徑。

草曰:識別具見大股第二問中。立天元為半徑,內減乙南行得■為虛股,以乘通勾甲東行,得■為半段城徑冪(寄左)。然後以天元自之,又就分二之得■為同數,與左相消得■。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出南門直行一百三十五步而立,甲從乾隅東行三百二十步望見乙。問答同前。

法曰:以乙南行乘甲東行冪為實,二之乙南行乘甲東行為從方,廉空,二步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,以二之加於乙南行得■為股率,以天元減甲東行得■為勾率。乃置乙南行以勾率乘之得■,合股率除,不除便以此為小勾,此即半梯之頭(內帶股率分母)。又以勾率乘之,得■為半徑冪(內帶股率分母。寄左)。乃以股率乘天元冪,得■為同數,與左相消得■。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出南門東行七十二步,甲從西北隅取直東行三百二十步見乙。問答同前。法曰:二行相乘為實,以乙東行為從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,以減甲東行步,得■為梯底,以乙東行七十二步為梯頭,以乘之得■為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得■。以平方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙從西南隅直東行一百九十二步,甲從西北隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。法曰:二行步相乘為實,二行相並為法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,副置之。上以減於乙東行得■為梯頭於上,下位減於甲東行得■為梯底,以乘上位得■為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得■。上法下實即半徑也。合問。

或問:乙從坤隅直南行三百六十步而止,甲從乾隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。

法曰:二行步相乘倍之為實,二之甲東行為從,一步常法。得城徑。

草曰:立天元一以為城徑,加乙南行得■為股,二行步相並得六百八十步為弦,甲東行為勾。勾股相乘得■,又倍之得■為二直積(寄左)。然後以勾股弦相並得■為三事和,以天元乘之得■為同數,與左相消得■。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:東門南不知遠近有樹,甲從乾隅東行三百二十步,望樹與城參相直,複就樹斜行一百七十步至樹。問答同前。

法曰:兩段東行步冪內減兩段東行斜行相乘數為實,二之東行為從,一益隅。

草曰:別得東行步即大勾,斜行步即小弦也。乃立天元一為城徑,減東行步得■勾圓差也(今為小勾)。置東行步以斜步乘之得■,合以小勾除之。今不受除,便以此為大弦(內帶小勾分母)。再置東行步以小勾乘之,得■為大勾,以減大弦得■為大差。合以小差乘之(緣內帶小差分母),更不須乘,便以此為半段黃方冪(更無分母)。又二之得■為一段黃方冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得■。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

依前問:假令乙出東門南行不知步數而止,甲從乾東行三百二十步,望乙與城相直,複就乙斜行一百七十步。

法曰:以甲東行乘二行差冪為實,以甲東行乘二之二行差為益方,二之二行差為隅法。

草曰:識別得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也。得此數更不須用斜。立天元一為半徑,減於二行差得■即半梯頭也。又以二天元減甲東行步得 ■為勾率,又以一百五十為股率。乃置甲東行以股率乘之,得■,合勾率除,不除便以此為大股(內寄勾率分母)。再置天元以勾率乘之得■,以減於大股得■為半梯底也。頭、底相乘得下■為半徑冪也(內帶勾率分母。寄左)。然後以勾率乘天元冪,得■為同數,與左相消得■。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:南門東不知遠近有樹,甲從乾隅東行三百二十步見樹,複向樹斜行二百七十二步至樹。問答同前。

法曰:二之二行差乘二之甲東行為實,並二之二行差及二之甲東行為從,二步益隅。

草曰:別得二行相減餘四十八步即虛積之勾也。立天元一為城徑,內減二之二行差,得■為梯頭於上。再置甲東行步以二之,內減天元得■為梯底,以乘上位得■為城徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得■。開平方得二百四十步,即城徑也。合問(翻法在記)。

或問:甲從乾隅東行三百二十步而止,乙出南門直行不知步數望見甲,複就甲斜行四百二十五步與甲相會。問答同前。

法曰:二行步相減以乘東行步,得數,又以半之東行步乘之為實;以半之東行步乘東行步於上,以二行步相減餘乘東行步減上位為從;二之東行步為益廉,一步常法。得半徑。

草曰:識別得二行相減是高積上勾股較(此勾即半徑也)。又別得是高弦不及股圓差數乃立天元為半城徑,以減東行步得■為中勾,其斜行步即中弦也。又置半城徑以斜步乘之得■元,合以中勾除之,不受除,便以此為高弦(內寄中勾為母)。又以二行步相減,餘一百五步為高弦不及股圓差數,置此數以中勾乘之,得 ■,加入高弦得■為大差於上(內帶中勾分母)。又倍天元減東行步得■為小差,又半之得■,以乘上位得■為半徑冪(內有中勾分母。寄左)。乃以天元自乘,又以中勾乘之得■為同數,與左相消得■。以立方開得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在乾隅,乙直南行不知步數而立,甲直東行三百二十步望見乙,複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰:以二行差乘甲東行步,又二之為實,以二之二行差為從,一步常法。

草曰:別得二行步相減餘三百六十步,即股圓差也。乃立天元一為圓徑,以減於甲東行步,得■為小差,以東行斜行差三百六十步乘之,得■,又倍之得■為一段城徑冪(寄左)。乃以天元冪與左相消,得■。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:東門外不知遠近有樹,甲從乾隅東行三百二十步,望樹與城參相直,複就樹斜行一百三十六步至樹。問答同前。

法曰:倍二行相減數,內減甲東行,得數複以乘甲東行為實,倍二行差為從,二步虛常法。得半徑。

草曰:識別得斜行步乃樹至城心步也。立天元一為半徑,加斜行步得■即樹至城西門之步也。乃以減於甲東行得下■為小勾率,其天元半徑即小股率,其斜步即小弦數也。再置甲東行步內減天元得■為梯底於上。又置梯底內減二之小勾率,得■,以乘上位得■為半徑冪(寄左)。乃以天元冪與左相消,得下式■。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:南門外不知步數有槐樹一株,甲從乾隅直東行至柳樹下,望見槐樹,複斜行至槐樹下,甲自雲:「我共行了七百四十五步。」乙從坤隅南行望見槐柳與城參相直,複斜行至槐樹下,乙自雲:「我南行步多於斜行步一百五步。」

法曰:甲東行減於甲斜行,以乘甲東行,得數複以乘二之甲東行為實;半之甲東行,以乘二之東行於上,甲東行減於甲斜行,餘複以乘甲東行,又倍之,減上位為從方;二之甲東行為益廉,五分隅法。

草曰:識別得一百五步是大差多於高弦數,又為高弦上勾股差數。又別得是甲斜行多於東行數也。乃副置甲共行七百四十五步在地,其上位加一百五步而半之,得四百二十五步即甲斜行也。其下位減一百五步而半之,得三百二十步即甲東行也。乃立天元一為圓徑,以半之減於甲東行步,得■為中勾,其甲斜行四百二十五步即中弦也。再置天元以半之為小勾,以中弦乘之得■,合以中勾除,不除便以為高弦於上(內帶中勾分母)。別置乙多步一百五步,以中勾乘之得■為大差多於高弦數也。以加入上位得下式■為一個大差也。置甲東行以天元減之,又倍之得■為兩個小差,以乘大差得下■為一段黃方冪(內帶中勾分母。寄左)。然後置天元冪以中勾通之,得■,與左相消得■。開立方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:出南門直行,不知步數有槐樹一株;出南門東行,不知步數有柳樹一株;槐柳斜相距一百五十三步。甲從乾東行三百二十步,望槐、柳與城參相直。問答同前。

法曰:二行相乘訖,又以乘甲東行冪為實;斜行乘甲東行冪,又三之為從方;甲東行冪內減兩段二行相乘數為第一廉,二之甲東行為益二廉,二步常法。開三乘方,得半徑。

草曰:立天元一為半徑,以二之減於甲東行,得■為小差,以自之得■,加於甲東行冪,複半之得■為大弦(內帶小差分母)。又置斜相距步,以大勾乘之得 ■太,合大弦除,不除便以此為小勾(內帶大弦分母)。乃以天元減甲東行數,得■為半梯底,以乘小勾半梯頭,得■為半徑冪於上,此半徑冪內有大弦分母,此大弦分母元帶小差分母,故先用小差分母以乘上半徑冪,得■為半徑冪也,內隻帶本大弦分母(寄左)。然後以大弦乘天元冪,得■為同數,與左相消得下■。開三乘方得一百二十步,即半城徑也。合問。

或問:甲從乾隅東行三百二十步而止,丙出東門南行,乙出東門直行各不知步數而立,甲回望乙、丙悉與城參相直,既而乙就丙斜行三十四步相會。問答同前。

法曰:甲東行再自之於上,以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實,兩段東行冪內減兩段東行、斜行相乘數為益從,以甲東行加五為從廉,五分虛隅。得全徑。

草曰:立天元一為城徑,以減於甲東行步,得■為小差,以自之得■為小差冪也。乃置甲東行冪內加小差冪而半之,得■為大弦也(內帶小差分母)。又置甲東行冪內減小差冪而半之,得■為大股也(內帶小差分母)。乃置斜行步在地,以大股乘之得■,合以大弦除之,不除而又倍之得■為梯頭也(即兩個小股內寄大弦為母。權寄)。乃置天元圓徑以半之,以小差分母通之,得■,以減於大股,餘得■元,又倍之得■元為梯底也(即兩個邊股,內亦有小差分母)。以乘權寄得■為城徑冪也(內寄大弦及小差分母。寄左)。然後以天元自之為冪,以大弦通之,又以小差通之得■為同數,與左相消得■。開立方得二百四十步,即城徑也。合問。

依前問:假令東門外有樹,乙出東門南行,不知步數而立(隻雲樹去城步少於乙南行步)。甲從乾隅向東行三百二十步,望乙與樹悉與城參相直,乙複就樹斜行三十四步到樹。問答同前。

法曰:甲東行自之,又以斜步乘之為立方實;以斜行乘甲東行於上,以半段甲東行冪內減上位為從;廉空,半步常法。得勾圓差。

草曰:別得乙斜行即A1弦也,A1弦得小勾股即大股弦較也。乃立天元一為勾圓差,以自之為冪,副之,上以加於甲東行冪而半之,得■為大弦也(寄小差分母)。下以減於甲東行冪而半之,得■為大股也(寄小差分母)。乃置斜步以大股乘之,得■,合大弦除,不除便以此為小股(寄大弦分母)。又置斜步以甲東行乘之得■太,合大弦除,不除便以此為小勾,而又以通母分通之得■元為同分小勾也(寄大弦分母。註:大股乘時有小差分母,今大勾無母,故又以齊同之)。又置斜步以大弦通之得■為同分小弦也。三位相並得■為勾圓差也(寄左)。然後置天元以大弦通之,得■為同數,與左相消得■。開立方得八十步,即勾圓差也。以勾圓差減於甲東行步,餘二百四十即城徑也。合問。

或問:南門外不知步數有樹,甲從乾東行三百二十步而立,乙出西門便南行,望樹及甲與城參相直,卻就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。

法曰:二行相乘於上,以半之甲東行乘之為實;二行相乘於上,又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從;甲東行為從廉,一步虛法。開立方得半徑。

草曰:立天元一為半徑,便以為小勾,其斜行即小弦也。乃以甲東行為大勾,以小弦乘之,複以天元除之得■即大弦也。又倍天元減東行餘■為小差,以減大弦,餘■為大股也。又倍天元以減股,餘■為大差也。卻以半小差■乘之得下式■為半徑冪(寄左)。乃以天元冪與左相消,得下式■。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:南門外不知步數有槐樹一株,東門外不知步數有柳樹一株。槐柳相距二百八十九步,甲從乾東行三百二十步,斜望槐柳與城參相直。問答同前。

法曰:二行相乘,得數又自增乘為實;斜步冪乘甲東行,又倍之為益從;兩行相乘又倍之為益廉,二之斜步為第二廉,二步常法。開三乘方得柳至城心步。

草曰:別得柳至城心步即甲立處至柳樹步也。立天元一為柳至城心步,加斜步得■為底弦,以天元乘之得■,合斜步除,不除便以此為底勾(寄斜步分母)。乃再置通勾以斜步乘之得■太為帶母通勾,內減底勾餘式■為半徑,以自之得■為半徑冪,內帶斜步冪分母(寄左)。乃以天元減斜步得■為明弦,以天元乘之得 ■,合斜步除,不除便以此為半梯頭(寄斜步為母)。複以底勾半梯底乘之,得■為同數,與左相消得■。開三乘方得一百三十六步,即柳至城心步也。合問。

或問:甲從乾隅東行三百二十步而立,乙出城東行,丙出城南行,三人相望俱與城相直。乙丙共行了一百五十一步。問答同前。

法曰:以甲東行為冪,折半,又以自之為三乘方實;倍共步加甲東行,以乘半段甲行冪為從方;甲行乘共數為從廉,甲東行加五為第二益廉,二分五厘常法。得小差。

草曰:別得乙丙共行步即明股A1勾共也。立天元一為小差,以自之,副置二位。上位減於甲東行冪,以天元除之,又折半得■即大股也。下位加甲行冪,以天元除之,又折半得■為大弦也。其甲東行即大勾也。並大勾、大股得■即大和也。再立天元以減甲東行步,得■即圓徑也。以圓徑加共步,得■即皇極和也(即小和,又為高弦平弦共數)。又倍之得■即黃長弦、黃廣弦共也,內減大弦得下式■為皇極內小黃方也(亦為虛弦)。再置大和■以小黃方乘之,得下式■,合以小和除之,不除便以此為城徑,內寄小和為母(寄左)。然後以天元減甲東行得■為大黃方,以小和乘之得■為同數,與左相消得■。開三乘方得八十步即小差也。以小差減甲東行,餘二百四十步,即城徑也。合問。

或問:丙出南門東行,乙出東門南行,各不知步數而立。甲從乾隅東行三百二十步,望乙、丙悉與城參相直。乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。

法曰:甲東行自之於上,倍斜行步乘之為立方實;倍斜行步乘甲東行於上,加兩段甲東行冪為從;四之甲東行為益廉,四為隅法。得半城徑。

草曰:別得斜步即小虛弦,減於全徑即小和也。乃立天元一為半徑,以二之減於甲東行得■為小差也。以自之得■為小差冪也。置甲東行冪內加小差冪而半之,得下■為大弦(內帶小差分母)。置甲東行冪內減小差冪而半之,得■為大股也,內亦帶小差為母。又以小差乘大勾得■,並入大股得■為大和也(帶小差母)。乃先以小弦乘大和得下■(寄左)。次以斜步減於二天元得■為小和,以乘大弦得下式■為同數,與左相消得■。開立方得一百二十步,即半城徑也。合問。

依前問:假令乙出東門南行,丙出南門東行,各不知步數而立(隻雲丙行步多於乙行步)。甲從乾隅東行三百二十步,望乙、丙與城參相直。其乙、丙共行了一百二步。問答同前。

法曰:倍共步以乘甲東行冪為立方實;共步乘甲東行於上,又以甲東行自之,加上位為益從;甲東行為從廉,五分虛常法。得城徑。

草曰:別得共步便為小弦,得小勾、小股即與圓徑同。立天元為城徑,以減甲東行得■為小差,以自之得■為小差冪也。乃置甲東行以自之為冪,副之。上以加小差冪而半之,得■為大弦也(內寄小差分母)。下以減小差冪而半之,得下■為大股也(內寄小差分母)。乃置共步在地,以大股乘之得■,合大弦除,不除便以此為小股也(寄大弦分母。)又置共步,以甲東行乘之得■,合以大弦除,不除便以此為小勾,而又以元分母小差乘之,得■為同分小勾也(隻寄大弦分母。註:其大弦內元帶小差分母,其大勾內卻無分母。故今乘過,複以小差通之,齊同其分母也)。又置共步以大弦通之,得■,同分小弦也。三位相並得■為城徑也(內有大弦分母。寄左)。然後置天元城徑,以大弦分母通之,得■為同數,與左相消得■。開立方得二百四十步,即城徑也。合問。

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