測圓海鏡/卷05

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○大股一十八問

或問：乙出南門直行一百三十五步而立，甲從乾隅南行六百步，望乙與城參相直。問答同前。

法曰：倍二行差內減甲南行步，複以乘甲南行步為實（倍二行差減甲南行步，即是甲南行步內減二之乙南行也）；四之甲南行步內減二之乙南行為從方；四益隅。開平方得半徑。

草曰：立天元一為半徑，以二之加乙南行步，得�為中股，以中股又減於甲南行步，得�為股率，其天元半徑即勾率也。置甲南行為大股，以勾率乘之，得� 元，合以股率除之，不受除，便以此為大勾（內帶股率分母）。再置天元以二之，以股率乘之，得�。減於大勾，餘�為勾圓差於上（內有股率分母）。又以二之天元減甲南行，得�為大差，以乘上位，得�為半段黃方冪（內寄股率分母。寄左）。然後以天元自之，又以股率乘之，又倍之得�為同數，與左相消得下式�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出南門東行七十二步而止，甲從乾隅南行六百步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：雲數相乘為平實，甲南行為從，二益隅。得半徑。

草曰：別得虛勾乘通股得半段圓徑冪，此與虛股乘通勾同。立天元一為半徑，內減乙東行得�為虛勾，以乘甲南行得�為半段徑冪（寄左）。再以天元為冪，又倍之為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出東門直行一十六步，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。

法曰：以乙東行乘甲南行冪為實，二之乙東行乘甲南行為從方，廉空，二步隅法。得半徑。

草曰：立天元一為半城徑，以二之加於乙東行，得�為勾率；又以天元減甲南行，得�為股率。乃置乙東行以股率乘之，得�，合以勾率除。不除便以此為小股，此小股即半梯之頭也（內帶勾率分母）。又以股率乘之（此股率即半梯之底也），乘訖得�為半徑冪（內帶勾率分母。寄左）。然後置天元冪以勾率通之，得 �為同數，與左相消得�。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出東門南行三十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，以乙南行為從，一步常法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，以減於甲南行得�為半梯底，以乙南行三十步為半梯頭，以乘之得�為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得�。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問。

或問：乙從艮隅南行一百五十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，並二行步為法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，副置之。上以減於乙南行，得�為半梯頭，下以減於甲南行得�為半梯底。上、下相乘得�為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式�。上法下實，如法而一，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙從艮隅東行八十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙。問答同前。

法曰：二行步相乘又倍之為實，二之乙東行為從，一步常法。得全徑。

草曰：別得乙東行八十步即小差也。立天元一為城徑，減於甲南行步，得�為大差，以乙東行步乘之得�，又倍之得�為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得�。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：南門東不知遠近有樹。甲從乾隅南行六百步，望樹與城參相直，複就樹斜行四百八步至樹。問答同前。

法曰：兩段南行步冪內減兩段兩行相乘數為實，二之南行步為從，一步益隅。

草曰：別得南行步內減城徑即小股也，其斜行步即小弦也。又二行相減即大差為股之勾也。乃立天元一為圓徑，以減南行步，得�為股圓差也（合為小股）。置南行步以斜行步乘之，得�太，合以小股除之。不受除，便以此為大弦（內帶小股分母）。再置南行步以小股乘之，得�為大股（亦帶小股分母）。以大股減大弦，得�為小差也。合以大差乘之，緣於內帶大差分母，更不須乘，便以為半段黃方冪（更無分母）。又二之得�為一段黃方冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得�。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

依前問：假令乙出南門東行不知步數而止，甲從乾南行六百步望乙與城相直，複就乙斜行四百八步。

法曰：二行差冪乘甲南行為實，二之二行差以乘南行步為益方，二之二行差為隅。得半徑。

草曰：識別得二行相減即半城徑與乙東行共也。得此數更不須用斜。立天元為半徑，減於二行差一百九十二，得�即半梯頭也。又以二天元減甲南行步，得 �為股率，又以一百九十二為勾率。乃置甲南行以勾率乘之，得�，合股率除，不除便以此為大勾（內寄股率分母）。再置天元以股率乘之，得�，以減於大勾得� 為半梯底也。頭底相乘得下�為半城徑冪也（內寄股率分母。寄左）。然後以股率乘天元冪為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問。

或問：東門南不知遠近有樹，甲從乾隅南行六百步見樹，複向樹斜行五百一十步至樹。問答同前。

法曰：二之差步乘二之甲南行為實，並二之差步二之甲行步為從，二益隅（若欲從簡，上下俱折半）。

草曰：別得二行相減數即虛積之股也。立天元一為圓徑，內減二之差步，得�為梯頭於上，又以天元減於二之甲行步，得�為梯底。上、下相乘，得�為圓徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得�。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：乙出東門直行不知步數而立，甲從乾隅南行六百步望見乙，複就乙斜行五百四十四步與乙相會。問答同前。

法曰：以二行步相減乘甲南行步，得數，又半之南行步以乘之為實；以二行差乘南行步於上，又以半之南行步乘南行步加於上為從方；二之南行步為益廉，一步常法。得半徑。

草曰：別得二行相減即平積上勾股較（此股即半徑也）。又別得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑，以減南行步，得�為中股，其斜行步即中弦也。乃立半城徑以斜行步乘之，得�元，合以中股除。今不受除，便以此為平弦（內帶中股分母）。又以二行步相減，餘五十六步，為勾圓差不及平弦數。置此數以中股乘之得�，複以減平弦，餘得�為小差（內帶中股分母）。乃以二天元減甲南行步為大差，又半之得�，以乘小差得�為半徑冪（寄左）。然後以天元自乘，又以中股通之，得�為同數，與左相消得�。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問（翻法在記）。

或問：甲乙二人俱在乾隅，乙東行不知步數而立，甲南行六百步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰：以二行差乘二行並，開平方，得數內複減二行差，得全徑。

草曰：別得二行相減即勾圓差也。先求大勾。立天元一為大勾。以二行相減餘八十步，以乘二行相並數一千二百八十步，得�太為勾冪，開平方得三百二十步即大勾也。大勾內減去勾圓差，餘二百四十步即城徑也。合問。

或問：南門外不知遠近有樹，甲從乾隅南行六百步，望樹與城參相直，複就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。

法曰：倍二行相減數內減甲南行，得數複以乘甲南行為實，倍二行相減數為從，二步益隅。得半徑。

草曰：識別得斜行步乃是樹至城心之數也。立天元一為半徑，加斜行步得�為樹至城北門之步也。乃以減於甲南行，得�為小股率，其天元半徑即小勾率，其斜步即小弦數也。再置甲南行步內減天元得�為梯底於上，又置梯底內減二之小股率，得�即梯頭也。複以乘上位得�為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：東門外不知步數有槐樹一株，甲從乾隅南行至柳樹下，望見槐樹，複斜行至槐樹下。甲自雲我共行了一千一百四十四步。乙從艮隅東行望見槐樹與城相直，複斜行至槐樹下。乙自雲我東行步不及斜行五十六步。問答同前。

法曰：甲斜行減於甲南行以乘甲南行，得數複以乘二之甲南行為實；半之甲南行以乘二之甲南行於上，甲斜行減於甲南行，餘複以乘甲南行，又倍之加上位為從方；二之甲南行為益廉，五分隅法。

草曰：識別得五十六步是小差不及平弦數（此小差即勾圓差也）。又為平弦上勾股差，又為甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地，其上位加五十六步而半之，得六百步即大股也。其下位減五十六步而半之，得五百四十四步即今弦也。立天元一為圓徑，以半之減於甲南行步，得�為中股，其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之，得�元，合以中股除之，今不受除，便以此為平弦（內寄中股分母）。又置勾圓差不及平弦數以中股乘之，得�，複以減於平弦，得�為小差（內帶中股分母）。又以天元減甲南行，倍之得�為兩個大差，以乘小差得�為圓徑冪（寄左）。然後以中股乘天元冪，得下式�為同數，與左相消得�。開立方得二百四十步，即城徑也。合問（翻法在記）。

或問：出東門向南行不知步數有柳樹一株，甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止。乙出東門直行不知步數望見柳樹與甲相直，卻斜行三十四步至柳樹下。問答同前。

法曰：斜行乘甲南行數，以乘甲行冪為實；斜行乘甲南行冪，又三之為從方；甲行冪內減兩段斜行、南行相乘數為第一廉，二之南行步為第二益廉，二步常法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，以二之減甲南行得�為大差，以自之得�為大差冪，加於南行冪，得�，又半之得�為大弦也，內帶大差�分母，別寄。又置乙斜行以大股六百乘之，得�，合大弦除，不除便以此為小股也（內帶大弦分母）。乃以天元減甲南行，得�即半梯底也，以乘小股半梯頭得�為半徑冪於上，此半徑冪內有大弦分母。緣別寄大弦分母元帶大差分母，故又用大差分母�乘上半徑冪，得�為帶分半徑冪也。所帶之分，謂隻帶大弦分母也（寄左）。然後以大弦乘天元冪，得�為同數，與左相消得�。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。

又法：置甲行冪於上，又置甲行冪半之以乘上位為實；以斜行乘甲行冪，倍之於上位，又以甲行再自乘加上位為益方；置甲行冪於上，以斜行乘甲南行，倍之，以減上位為第一廉；甲南行步為第二益廉，半步常法。得股圓差。

草曰：立天元一為股圓差（即大差），以自之為冪，以加甲南行冪得�。半之，又以天元除之得�為大弦，其甲南行即大股也。別置乙斜行三十四步以大股乘之，得�太，合大弦除，不除便以為小股（內寄大弦分母）。乃以天元加甲南行步，得�為全梯底也。以乘小股半梯頭，得�，又倍之得�為城徑冪（內寄大弦為母。寄左）。乃置天元大差減甲南行，餘為圓徑，以自之得�，又以大弦分母乘之得�為同數，與左相消得下式�。開三乘方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減甲南行餘二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲從乾隅南行六百步而止，丙從南門直行，乙出南門東行，各不知步數而立。甲望乙、丙悉與城參相直，既而乙就丙斜行一百五十三步相會。問答同前。

法曰：以甲南行步再自之於上，以斜行步乘甲南行冪，又倍之，減上位為立方實；南行步自之又四之於上，以斜步乘甲南行，又倍之，減上位為益從；六之甲行步為從廉，四步虛常法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，以二之減於甲南行，得�為大差也，以自之得�為大差冪也，乃置甲南行冪內加大差冪而半之，得�為大弦也（內帶大差分母）。又置甲南行冪內減大差冪而半之，得�為大勾也（亦帶大差分母）。乃置斜行步在地，以大勾乘之得�，合以大弦除，不除便以此為小勾，內帶大弦為母（其大勾內元有大差分母，不用），即半梯頭也（寄上位）。再置天元半徑以大差乘之，得�，以減於大勾得�元為半梯底也。以乘上位得�為半徑冪也（內帶大差及大弦為母。寄左）。然後置天元冪以大差通之，又以大弦通之，得�為同數，與左相消得�。開立方得一百二十步，即半城徑也。合問。

依前問：假令南門外有樹，乙出南門東行不知步數而立（隻雲乙東行步少於樹去城步）。甲從乾隅向南行六百步望樹與乙，悉與城參相直，乙就樹斜行一百五十三步至樹下。問答同前。

法曰：以斜行步乘甲行冪為立方實，以甲行冪半之於上，以斜行步乘甲行步減上位為益從，廉無入，五分虛隅。得大勾、大弦差。

草曰：別得斜步即小弦，小弦得小和即勾弦差也。立天元一為股圓差，以自之為冪，副之，上以加甲南行冪而半之，得�為大弦也（寄大差分母）。下以減於甲南行�冪而半之，得下式�為大勾也（寄大差分母）。乃置斜步以大勾乘之得下�，合大弦除，不除便以此為小勾（寄大弦分母），又置斜步以甲南行乘之得� 太，合以大弦除為小股，不除而又以同母分通之，得�為同分小股也（隻寄大弦分母。注：大股乘時，無大差分母，故今通之，以齊大勾上所有大差分母也）。又置斜步以大弦通之，得�為通分小弦也。三位相並得�為股圓差也（寄左）。然後置天元大差以大弦分母通之，得�為同數，與左相消得�。開立方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減於甲南行步即城徑也。合問。

或問：東門外不知步數有樹，甲從乾南行六百步而止，乙出北門東行，斜望樹及甲與城參相直，卻就樹斜行一百三十六步。問答同前。

法曰：二行步相乘於上，又半甲南行乘之為實；二行相乘於上，又半甲南行以乘甲南行，加上位為益從；甲南行為從廉，一步益隅。開立方得半徑。

草曰：立天元一為半徑，便以為小股，其斜行步即小弦也。乃以甲南行為大股，以小弦乘之，複以天元除之，得�即大弦也。又倍天元減甲南行，餘�為大差，以減大弦，餘�為大勾也。又倍天元以減勾，得�為小差也。卻以半大差�乘之，得�為半徑冪（寄左）。乃以天元冪相消，得下式�。開立方得一百二十步，即半徑也。合問。

或問：南門外不知步數有槐樹一株，東門外不知步數有柳樹一株，槐柳二樹相去二百八十九步。有人從乾南行六百步而止，斜望槐、柳與城參相直。問答同前。

法曰：雲數相乘，得又自增乘為三乘方實；斜步冪乘南行步，又二之為益從；二雲數相乘又倍之為益廉，二之斜步為第二從廉，二步常法。得槐至城心步。

草曰：別得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也。乃立天元一為槐樹至城心步（即人至槐處）。加於斜步得�為邊弦也，以天元乘之得�，合斜步除，不除便以此為邊股（寄斜步分母）。又以斜步乘南行步得�為大股，以邊股減之，餘�為半城徑（寄斜步分母）。以自之得�為半徑冪（內帶斜步冪為母。寄左）。又以天元減斜步得�為叀弦，以天元乘之得�，合斜步除，不除寄為母，便以此為半梯頭。以邊股半梯底乘之，得�為同數，與左相消得�。開三乘方得二百五十五步，即槐樹至城心之步也，亦為皇極正股。又自之，得數以減斜冪，餘如平方而一得城心至柳樹步，又為皇極正勾也。勾股相乘倍之為實，如斜步而一，即城徑也。合問。

或問：甲從乾南行六百步而立，乙出南門直行，丙出東門直行，三人相望俱與城相直，而乙、丙共行了一百五十一步。問答同前。

法曰：甲南行為冪，折半又以自之為實，倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方，甲行乘共數為從廉，一個半甲南行為第二益廉，二分五厘為三乘方隅。

草曰：識別得共步加城徑即皇極和也，又是半徑為勾之弦與半徑為股之弦相和步也。二之此數內減去大弦即皇極勾股內黃方麵也，亦為太虛弦。乃立天元一為大差，以自之，副置二位。上位減於甲南行冪，以天元除之，又折半得�為大勾也。下位加甲南行冪以天元除之，又折半得�為大弦也。其甲南行即大股也。並大勾、大股得下式�即大和也。再立天元減甲南行，得�即圓徑也，加共步得�即皇極和，又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦共數也。又倍之得�，即全徑為勾之弦及全徑為股之弦共數也。內減大弦得�即小和內黃方麵也。乃置大和�以小黃方麵乘之，得�。合以小和除之，不除便以此為大黃方也（內寄小和為母。寄左）。然後以天元減甲南行得�為大黃方，以小和�為同數，與左相消得�。開三乘方得三百六十步，即股圓差也。以股圓差減於甲南行餘二百四十步，即城徑也。合問。

或問：丙出南門東行，乙出東門南行，各不知步數而立。甲從乾隅南行六百步，斜望乙、丙悉與城參相直，乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。

法曰：以斜步乘甲南行冪，又倍之為實；倍甲行冪於上，又以斜步乘二之甲南行加於上為從方；四之甲南行為益廉，四步常法。開立方得半徑。

草曰：別得斜步為小弦也，以斜步減圓徑餘為小和也。乃立天元為半徑，以二之減於甲南行，得�為大差也，以自之得�為大差冪也。置甲南行冪�為大弦也（內帶大差為分母）。又置甲南行冪內減大差冪而半之，得�為大勾也（帶大差分母）。又以大差乘股六百步得�，並入大勾得�為大和也（帶大差分母）。乃先以小弦乘大和得下式�（寄左）。又以小和�乘大弦得�為同數，與左相消得下�。開立方得一百二十步，即半徑也。合問。

依前問：假令乙出東門南行，丙出南門東行，各不知步數而立（隻雲丙行步多於乙行步）。甲從乾隅南行六百步，望乙、丙與城參相直，乙複斜行就丙，行了一百二步與丙相會。問答同前。

法曰：以斜步乘甲行冪，又倍之為立方實，甲行冪內加斜行、南行相乘數為從方，甲南行為益廉，半步為隅。得全徑。

草曰：別得相就步即小弦也，小弦得小和為直徑也。立天元一為城徑，以減於甲南行步得�為大差，以自之得�為大差冪也。置甲南行步以自之為冪，副之，上以加大差冪而半之得�為大弦也（內寄大差分母）。下以減大差冪而半之得�為大勾也（內寄大差分母）。乃置相就步在地，以大勾乘之得�，合大弦除，不除寄為母，便以此為小勾也，寄大弦母。又置斜步（即相就步也）。以甲南行乘之得�，合以大弦除之，不除寄為母，便以此為小股，而又以元分母大差乘之得�為同分小股也，隻寄大弦分母（其大勾內元有大差分母，其大股內卻無分母，故今乘過，複以大差通之，齊分母也）。又置斜行步以大弦通之，得�為小弦也。上三位相並得�為城徑也（內寄大弦分母。寄左）。然後置天元以大弦通之，得�為同數，與左相消，得�。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。