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測圓海鏡/卷04

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○底勾一十七問

或問:乙出南門東行,不知步數而立,甲出北門東行二百步見之,就乙斜行二百七十二步與乙相會。問答同前。法曰:二行差數乘甲東行,又四之為平方實。得全徑。

草曰:識別得二行相減餘七十二步,即乙出南門東行數也。以甲東行減於就乙斜行餘七十二步,以乘甲東行步,得一萬四千四百步,又四之得五萬七千六百步為實。以平方開之得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:乙從坤隅南行三百六十步,甲出北門東行二百步見之。問答同前。法曰:二行步相乘倍之為實,乙南行為從,一步常法。

草曰:立天元一為城徑,以減於二之甲東行步,得為兩個小差。以乙南行步乘之,得為城徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。以平方開之得二百四十步,即城徑也。合問。

又法:半之乙南行步乘甲東行為實,半乙南行為從,一步常法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,減甲東行,得為小差。乃半乙南行步,得一百八十步,以乘小差,得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得下式。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙從坤隅東行一百九十二步而止,甲出北門東行二百步見乙。問答同前。法曰:兩行步相乘為實,甲東行為從,一為隅。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,減於乙東行,得。以甲行步乘之,得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪與左相消,得。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出南門直行一百三十五步,甲出北門東行二百步見乙。問答同前。

法曰:以乙南行步乘甲東行冪,又四之為實,從空,乙南行為廉,一步常法。

草曰:立天元一為城徑,加乙南行得為股率,其甲東行即勾率也。置乙南行為小股,以勾率乘之得太,合以股率除。今不受除,便以此為小勾(寄股率為母)。乃以甲東行步乘之,得,又四之得二千一百六十萬於太極位,為一段城徑冪(寄股率分母。寄左)。然後以天元城徑自之,又以股率分母通之,得為同數。與左相消,得下式。以立方開之得二百四十步,即城徑也。合問。

又法:二行相乘,又以自乘為實,以二之東行乘南行冪為益方,南行冪為從,四之東行為益隅。立方開得小勾七十二。

草曰:立天元一為小勾,以南行為小股,以東行二百步為大勾也。置大勾內減天元,得為中勾也,以小股乘之得,以天元小勾除之,得為中股即城徑也,以自之得為城徑冪也(寄左)。又立天元小勾以乘大勾二百步,又四之得為同數。與左相消得,開立方得七十二步即小勾也,以乘大勾二百步為實。平方開得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法:求半徑:以南行步乘東行冪為實,從空,南行步為廉,二常法。

草曰:立天元一為半徑,以二之加南行步,得為股率,以東行為勾率,以南行為小股也。置小股以勾率乘之,得,以股率除之。不受除,隻寄股率分母,便以此為小勾也。又以勾率乘之,得下式為半徑冪(寄左)。再立天元半徑以自之,又以分母股率乘之,得為同數,與左相消得。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門南行三十步而止,甲出北門東行二百步望見乙,與城參相直。問答同前。

法曰:以甲東行步乘乙南行冪為實,以乙南行冪為從,甲東行內減二之乙南行為益廉,一步為隅。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,減於甲東行步,得為小勾。以天元加於乙南行步,得為小股。乃以天元加東行步,得為大勾。置大勾以小股乘之,得,合以小勾除之。今不受除,便以此為大股(內帶小勾分母)。又置天元半徑以分母小勾乘之,得,減於大股餘,以乙南行步乘之,得為半徑冪(內有小勾分母。寄左)。然後以天元為冪,又以小勾通之,得為同數。與左相消,得下式。以立方開之得一百二十步,倍之即城徑也。合問(翻法在記)。

又法:乙南行乘甲東行為平實,二數相減為從,一益隅。翻開,得半徑。

草曰:別得二數相並為大勾內少一虛股,其二數相減為小差弦也。立天元一為半徑,副置之。上位減於二百步,得為勾圓差(即小差勾也)。下位加三十步,得為小差股。勾股相乘得為一段小差積(寄左)。再以小差勾減小差股,餘有為一較也。又以此較減於小差弦太,得下式為一個弦較較。以天元乘之得下式為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,即半城徑也。合問(翻法在記)。再立此法者,蓋從簡也。

或問:乙出東門南行不知步數而立,甲出北門東行二百步望見乙,複就乙斜行一百七十步與乙相會。問答同前。

法曰:以二行差乘甲東行為實,甲東行內減二行差為益方,一步常法。得半徑。

草曰:識別得二行相減餘三十步,即乙出東門南行步也(更不須用弦)。立天元一以為半城徑,加乙南行得為小股。副置甲東行步,上位減天元得下式 為小勾,下位加天元得為大勾也。乃置大勾以小股乘之,得下式,合以小勾除。不受除,便以此為大股(內帶小勾分母)。又倍天元以小勾乘之,得,以減於大股得,又倍之得為兩個股圓差。合以勾圓差乘之,緣為其中已帶小勾分母,更不須乘,便以此為黃方冪(更無分母。寄左)。然後倍天元以自之為同數,與左相消得。上下俱半之(俱半之者,蓋從簡也),得。以平方開之得一百二十步,倍之即圓徑也。合問。

或問:乙出南門直行不知步數而止,甲出北門東行二百步見之,複就乙斜行四百二十五步與乙相會。問答同前。

法曰:倍兩行差,以乘二之甲東行為實,從空,四之甲東行於上,倍兩行差加上位為隅。得半徑。

草曰:識別得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也。立天元一以為半徑,便是小勾,其二行差便是小股。乃置甲東行步加天元,得為大勾,以小股乘之得下式,又以小勾除之,得為大股。又倍天元以減之,得為股圓差,又倍之得為兩個股圓差於上。乃以天元減甲東行,得為勾圓差,以乘上位,得下式為城徑冪(寄左)。然後倍天元一以自之,與左相消得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法:並二數,以二數差乘之,開方得底股。複以甲東行二百步乘之為實,並二數而半之以為法。如法得二百四十步即城徑也。合問(此用股上容圓求之,比前法極為簡易)。

或問:乙從乾隅南行不知步數而止,甲出北門東行二百步望見之,複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰:並二行以二行差乘之,內減二行差冪為實,並二行步及二行相減數為從,二步常法。得半徑。

草曰:識別得斜行六百八十步即大弦也。其二行相減餘四百八十步即半圓徑與大差共數也。立天元一為半城徑,副置之。上位加二行相減數,得為大股也;下位加甲東行步,得為大勾也。乃以大股自增乘,得為大股冪(寄左)。乃並大勾、大弦得於上,又以大勾減大弦,得為大差,以乘上位得為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

又法:求大差:

法曰:二行差自乘為實,置二之二行差於上,乃以甲東行步減二行差,又半之以減於上為益方。半步常法。

草曰:立天元一為大差,減於二行差,得為半城徑,以自之得為半徑冪(寄左)。乃以半城徑減於甲東行,得下式為小差,又以天元乘之得,又半之得為同數與左相消,得下式。以平方開之,得三百六十步,即大差也。合問。

或問:乙出東門不知步數而立,甲出北門東行二百步望見乙,複就乙斜行一百三十六步與乙相會。問答同前。

法曰:甲東行步內減二之二行差,餘以乘甲東行為實,一步常法。得半徑。

草曰:別得二行相減餘六十四步,即半徑為股之勾。立天元一為半城徑,就以為股率,其二行差即勾率也。乃置甲東行步加天元,得為大勾,以天元股率乘之得。合以勾率除之,不受除,便以此為大股(內帶勾率分母)。乃倍天元以勾率乘之,得元,以減大股得,為一個大差於上(內帶勾率分母)。乃以天元減甲東行,得為小差,以乘上位得為半段黃方冪(內寄勾率為母。寄左)。然後以天元自之,又以勾率乘之,又倍之,得為同數與左相消,得下式。以平方開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:乙出東門直行一十六步而止。甲出北門東行二百步望見乙,與城參相直。問答同前。

法曰:二行步相減餘以自乘,內減乙東行冪為實,二之甲東行為益從,一步隅法。得半徑。

草曰:立天元一以為半城徑,加乙行步,並以減於甲行步,得為平勾率,其天元半徑即平股率也。乃置乙東行一十六步為小勾,以股率乘之得元,合以勾率除之。今不受除,便以此為小股(內帶勾率分母)。又置乙東行加二天元,得為大勾,以股率乘之得,合以勾率除之。今不受除,便以此為大股(內寄勾率為母)。以此小股、大股相乘得為半徑冪(內寄勾率冪為母。寄左)。然後以勾率冪乘天元冪,得為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:甲乙二人同出北門,向東行至東北十字道口分路。乙折南行一百五十步而立,甲又向東行,甲前後通行了二百步,回望乙恰與城相直。問答同前。

法曰:以二行步相乘於上,又以南行步乘之為實;二行步相乘於上,又以乙南行減於甲東行,得數複以乙南行乘之,加上位共為法。得半徑。

草曰:立天元一為半城徑,副之。上位加甲行步得為大勾也,下位減於甲行步餘為小勾也。其乙折行即小股也。置大勾以小股乘之,得,內寄小勾 為母,便以為大股也。再置天元以母乘之,得,減於大股餘為半個矮梯底於上(內寄小勾為母)。再置乙折行步內減天元,得為半個矮梯頭。以乘上位,得 為半徑冪(寄左)。乃以小勾分母乘天元冪,得下式為同數,與左相消得。上法下實,如法而一,得一百二十步即城之半徑也。合問。

又法:法曰:二行步相乘為實,倍甲東行內減乙南行為法。

草曰:立天元一為半圓徑,副之。上位加甲東行得為大勾,下位減甲東行得為小勾。此小勾便是勾圓差也。其乙南行即小股也。置大勾以小股乘之,得下式,內寄小勾為母,便以為大股也。再置天元以二之,又以分母乘之,得為全徑,以減於大股,餘得為股圓差也。合以勾圓差乘之,緣內已有小勾分母,故不須更乘,便以此為兩段之半徑冪也,更無分母(寄左)。再置天元以自之,又二之得為同數,與左相消得。上法下實,得一百二十步即半城徑也。合問。

或問:見底勾二百步,明弦一百五十三步。問答同前。

法曰:半底勾乘明弦為平實,並二雲數而半之為從,五分常法。得明勾

草曰:立天元一為明勾,加明弦得為高股也。又以天元減底勾而半之,得下式為平勾也。股勾相乘得為半徑冪(寄左)。然後以天元乘底勾得下式元為同數,與左相消得。開平方得七十二步,即明勾也。以明勾乘底勾為平方實,如法開之,得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:見底勾二百步,叀弦三十四步。問答同前。

法曰:底勾、叀弦相減,餘倍之,內減去底勾,複以底勾乘之於上。又以叀弦冪乘上位為三乘方實;倍底勾以叀弦冪乘之為從;二雲數相減,餘以自之為第一廉;二雲數相減,餘又倍之為第二益廉;一步隅法。得叀股

草曰:立天元一為叀股,加叀弦得為平勾。以平勾減底勾,餘為平弦,以倍之得為黃長弦也。此弦內卻減底勾,餘得下式為明勾也。複以底勾乘之,得於上。又叀弦自乘得一千一百五十六為分母,以乘上位得為帶分半徑冪(寄左)。然後置黃長弦以天元乘之,得,合以叀弦除之。不除,寄為母,便以此為全徑也。以半之得為半徑(內帶叀弦分母),以自之得為同數,與左相消得。開三乘方得三十步,即叀股也。餘各依數求之,合問。

又法:底勾內減二叀弦,複以底勾乘之,複以叀弦冪乘之,為三乘方實。餘廉、從並與前同。

草曰:識別得二數相減餘一百六十六為平勾、虛勾共,又為平弦、叀股共;於此餘數內又去半徑即叀和也。叀和、叀弦相並即勾圓差也,相減則叀黃方也。又倍叀弦加叀黃亦得勾圓差也。底勾內減叀股餘即小差弦也。立天元一為叀股,減於雲數相減數,得為平弦;以平弦減底勾得,即平勾。以平勾減於雲數相減數,得即虛弦;以天元又減虛弦,得即明勾也。乃置平弦以天元乘之,得,合叀弦除。不除,寄為母,便以此為平股也(即半徑)。平股自之,得為半徑冪(內帶叀弦冪分母。寄左)。然後置底勾以明勾乘之,得,又以叀弦冪一千一百五十六通之,得下式為同數,與左相消得。廉從一一如上。

或問:見底勾二百步,平弦一百三十六步。問答同前。法曰:倍平弦內減底勾,複以底勾乘之,開平方得半徑。

草曰:立天元為半徑,先倍平弦內減底勾,餘為明勾,複以底勾乘之,得為半徑冪(寄左)。然後以天元冪為同數,與左相消得。開平方得一百二十步,又倍之即城徑也。合問。

或問:底勾二百步,高弦二百五十五步。問答同前。

法曰:底勾冪乘高弦為立實,底勾冪為從,高弦為廉,一為隅。得半徑。

草曰:識別得高弦即皇極股也。立天元一為半徑,副之。上位加高弦,得即底股也;下位減於高弦,得即明股也。置明股以底勾乘之,得,合以底股除。不除寄為母,便以此為明勾;又以底勾乘之,得為半徑冪(內帶底股分母。寄左)。然後以天元冪乘底股得,與左相消得。開立方得一百二十步,倍之即城徑也。合問。

或問:底勾二百步,叀勾、叀弦和五十步。問答同前。

法曰:以二雲數相減餘加底勾,複以減餘乘之,半之於上。以減餘自之減上位為實,並雲數半之為法。得叀股

草曰:別得二數相減,餘為小差股。立天元一為叀股,減於小差股,得即半徑也。又以天元減半徑,得為虛股於上;又以半徑加底勾,得下為通勾於下;上、下相乘得,折半得為半徑冪(寄左)。然後以半徑自之,得下式為同數,與左相消得。上法下實,得三十步即叀股也。合問。

或問:見底勾二百步,明股、明弦和二百八十八步。問答同前。

法曰:二數相減又半之,得數又減於底勾,餘為泛率。以泛率自之又倍之於上位。又二數相減而半之,以乘和步,所得減於上位為實。倍泛率於上位,又半底勾減和步加上位為法。得明勾

草曰:別得和步得明勾為大差也。大差得底勾為二中差。立天元一為明勾,加和步得為股圓差也(即大差)。內又加底勾得,折半得,即通勾通股差也(此即中差)。置大差減中差得下即小差也。大、小差相乘得為半段圓徑冪(寄左)。乃置底勾內減小差,得為半徑,以自之,得,倍之得下式為同數,與左相消得。上法下實得七十二步,即明勾也。合問。

法曰:和步乘底勾又以和步乘之為實,倍底勾加和步又以和步乘之為從,倍和步內減底勾為廉,一常法。開立方得明勾

草曰:底股、底弦和內減和步,即黃長股弦和也。底勾得明勾即黃長弦也,黃長股即圓徑,明弦上三事和即大差。立天元一為明勾,以和步乘底勾得,以明勾除之得為底股底弦和也,內減和步餘為黃長股弦和也。以天元加底勾得為黃長弦,以減黃長股弦和,餘為圓徑。倍底勾內減圓徑,得為兩個小差於上;以和步加天元,得為一個大差於下。上、下相乘得下式為圓徑冪(寄左)。然後以天元乘底勾,又四之得為同數,與寄左相消得下式。開立方得七十二步,即明勾也。合問。

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