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Faa de Bruno's Theorem

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Faa de Bruno's Theorem
作者:E. B. Elliott
1924年4月
譯者:曾炯
刊於《國立武昌師範大學數理化雜誌》第十二期(十週年紀念號),民國十三年四月,武昌師範大學數理化學會出版。原文取自E. B. Elliott著《An introduction to the algebra of quantics》(1895年初版,1913年二版)。
Faa de Bruno's Theorem
曾 炯
乘冪之行列式

 因欲直接證明多種函數之爲行列式形者,爲二元形Binary quantic之不變式invariants及共變式covariants,有初簡單定理對於某種行列式極爲有助,即Faa de Bruno's Theorem是也.此定理之最初三類爲:

  

  

  

而此一般定理General Theorem,乃一行列式,其第一列由下列各元素而成

  

而其各列可由第一列繼續的in succession與

演算Operating而得之,此行列式爲之乘寬即th冪也.

 此又有顯然易見者,卽可同樣的先書下其最末一列:

  

而繼續的向上upwards 由此列與

  

演算而得其餘各列也.因由Taylor's Theorem,在第行之元素向下讀之乃

  

之展開之各冪Various powers之係數;而同樣向上讀之,乃

  

之展開之各冪之係數也.

 此兩種形成行列式之方法;謂之第一種寫法及第二種寫法.

 此定理之第一類卽可證明,其第二類之證明:以乘第二列,乘第三列,加之於第一列,卽可得證明之,第三類之證明亦可由同樣之方法易於求之.此一般定理,乃線偏微分方程式Lagrange解法之定理The theory of Lagrange's solution of linear partial differential equations中,一簡易習題,茲將進而討論之.

 由乘積Products微分之普通之規則,可知微分次行列式之結果,可書爲個行列式之和,其每行列式由微分原行列式中一列之元素,而遺留其餘各列元素不動而得之.試思此原行列式爲第一種寫法,以演算之.此結果乃個行列式之和,而此等列行式皆消滅爲零Vanish因演算任何列之結果,除最末一列外,皆發生爲其下一列following row之數值之倍數a numerical multiple而最末一列演算之結果爲一列零.於是若表示此原行列式,則得

  

故由Lagrange定理僅含有關係之中.

 再試思爲第二種寫法,以演算之,同樣得

  

僅含有關係之中.

 是故此行列式,僅爲之函數,且爲同次式Homogeneous而必爲之一單冪single power帶有一可能的數值的因數而成者也.但此數值的因數爲,例如取, ,則,而爲一主對角線A principal diagonal之,及其他各元素零而成.

 由是可知次元Dimension,更由此事實而知th冪矣.

 試證明

  

爲一個二元形之一共變式,於特別情形,若爲四次式quartic,則爲一不變式.以爲本定理之標準應用。

 由上述之行列式,行與行乘此式二次。

 第一次乘法之結果,因

  

  

  

 第二次乘法變易其每元素之微分次數,則

  

 如是上述之事實證明矣

 注意I. 此篇譯自 E. B. Elliott's Algebras of Quantics 中16,17兩節

 注意II. The theory of Lagrange's solution of linear partial differential equations可參考A. R. Forsyth's Differential Euqations之187,189兩節PP.392-394.

 注意III. Faa de Bruno (1825-1888)

 本译文与其原文有分别的版权许可。译文版权状况仅适用于本版本。

原文

这部作品在1929年1月1日以前出版,其作者1937年逝世,在美國以及版權期限是作者終身加80年以下的國家以及地区,屬於公有領域


这部作品也可能在本國本地版權期限更長,但對外國外地作品應用較短期限規則的國家以及地区,屬於公有領域

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译文

1996年1月1日,这部作品在原著作國家或地區屬於公有領域,之前在美國從未出版,其作者1940年逝世,在美國以及版權期限是作者終身加80年以下的國家以及地区,屬於公有領域


这部作品也可能在本國本地版權期限更長,但對外國外地作品應用較短期限規則的國家以及地区,屬於公有領域

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