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測圓海鏡/卷12

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 卷十一 測圓海鏡
卷十二
序跋 

○之分一十四問

或問:甲乙二人俱在西北隅,乙向東直行,不知步數而止。甲向南直行,望見乙,複向乙斜行。甲告乙雲:「我直行斜行共一千二百八十步,汝東行步居我南行步十五分之八。」

法曰:十六之共步冪為實。二百五十七之共步為益從,一十六步常法。得勾圓差■。

草曰:別得共步即股弦共也。立天元一為小差。以乘共步為勾冪,就分以二百二十五通之,得■元為二百二十五段勾冪(寄左)。然後再置共步,內減小差得 ■為二股,就分四之,得■為一十五勾,以自之得■為同數,與左相消得■。平方開之得八十步,即小差也。既得小差,加共步而半之,得六百八十步即弦也。若以減共步而半之,得六百步即股也。以股冪減弦冪,餘一十萬二千四百步,開平方得三百二十步,即勾也。勾股相乘,倍之得三十八萬四千步為實,以弦和和一千六百步為法,實如法而一,得二百四十步即城徑也。合問。

或問:甲乙二人俱在西北隅,乙直南行不知步數而立。甲直東行望見乙,複向乙斜行,與乙相會。甲雲:「我共行了一千步。」又雲:「我東行步居汝南行步十五分之八。」

法曰:二百二十五段共步冪為實,七百六之共步為益從。二百二十五步常法。得股圓差■。

草曰:別得共步即勾弦共也。立天元一為大差。以乘共步得■元,又就分以二百五十六通之,得■元為二百五十六個股冪(寄左)。然後再置共步,內減天元大差得■為二勾,就分以一十五之,得■為十六個股也。以自之得■為同數,與左相消得■。開平方得三百六十步,即大差也。副置共步,上位減大差而半之,得三百二十步,即勾也。下位加大差而半之,得六百八十步,即弦也。餘數各以法求之,合問。

或問:甲乙俱在西北隅,甲南行不知步數而立。乙東行亦不知步數,望見甲,就甲斜行,與之相會。乙雲:「我東行步少於城周九分之五。」甲雲:「我南行卻多於汝東行二百八十步。」問答同前。

法曰:別得周居九分,徑居三分,乙東行居四分。

草曰:立天元一為一分之數,以三之得鋋元為徑。以四之得■元為勾。以徑減勾,餘■元為小差(隻天元便是小差)。再置小差加入甲多步,得■為大差。倍大差以天元乘之,得■為一段圓徑冪(寄左)。再置城徑以自之得下式■為同數,與左相消得■。上法下實,得八十步,即一分之數也。以三之得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行,不知步數而立。乙出北門東行,望見甲,既而乙雲:「我所行居城徑六分之五。」甲雲:「然則,我所行卻多於汝二百八十步。」問答同前。

法曰:四之卻多步為實。分母自之於上。半分母減子,得數倍之,又以減數乘之減上位為法。得一分之數■。

草曰:別得卻多步即勾股差也。乃立天元一為一分之數以六之為城徑,以五之為乙行。置乙行內減半城徑,得■元為小差也。又加入卻多步得■,又二之得 ■為二大差。又以小差乘之,得■為徑冪(寄左),然後以徑冪■與左相消得下■。上法下實,得四十步,即一分之數也。六之則為城徑,五之則為乙行,又以卻多步加乙行即甲行步也。合問。

或問:甲丙二人俱在西北隅,甲向東行不知步數而立。丙向南行望見甲,與之相會。丙語甲雲:「我行既多於汝,又城徑少於我為四十分之十六。」甲雲: 「然則,吾二人共行了九百二十步。」問答同前。

法曰:倍子減倍母,以乘共行步為實。倍子減倍母,以乘子母並數於上,又以子冪加上位為法。如法得一十五步,即一分之數也。

草曰:別得共行步即通和也。又別得四十分之十六,或作二十分之八,或作十分之四亦得。但所得之分數不同耳。乃立天元一為一分之數以十六之為城徑,以四十之為丙行。以丙行減和步,得■為通勾,勾內減徑餘得■為小差於上。以分母分子相減餘■元,又倍之得■元為兩個大差。以乘上位得■為圓徑冪(寄左)。然後以分子十六分自之,得下■,與左相消得■。上法下實,得一十五步,即一分之數也。以十六之得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲乙俱立於城中心,乙出東門直行,不知步數而立。甲出南門直行,亦不知步數,望見乙,向乙斜行,與之相會。乙雲:「我行居汝南行十五分之八。」又雲:「斜行步內若減甲直行,餘三十四步,若減乙直行餘一百五十三步。」問答同前。

法曰:以雲數二減步為小差、大差,以相乘,倍之,開平方加入大小差並,以自之於上。又以大小差相較數,以自之減上位為實。甲行分、乙行分相乘,又倍之為隅法。得一分之剩粒豹枿。

草曰:別得雲步相並得一百八十七,是於皇極弦內少一個皇極黃方麵也。又別得三十四步是個小勾圓差,其一百五十三步是一個小股圓差。此二差又相減,餘一百一十九即中差也。乃立天元一為一分之數。以八之得■元為乙東行數,以十五之得■元為甲南行數,以二數相乘又倍之,得■為二直積於上(寄左)。然後以雲步三十四乘一百五十三,得五千二百二,又倍之得一萬四百四為平方實。開之得一百二步即小黃方也。加入相並數一百八十七得二百八十九為小弦也。以自之得八萬三千五百二十一為弦冪於上。以中差冪一萬四千一百六十一減上位,餘■,與左相消得■。平方開之得一十七步,即一分之數也。副置一分之數,上位以八之得一百三十六,即乙東行也;下位以十五之得二百五十五,即甲南行也。二位相乘得三萬四千六百八十,又倍之得六萬九千三百六十為實。以弦二百八十九為法,如法得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行,乙出北門東行,各不知遠近。兩相望見,複相向斜行,各行了三百四十步相會。甲雲:「城徑居我南行二分之一。」乙雲:「我東行居城徑六分之五。」問答同前。

法曰:以二之斜行步,自之為實。以各行分數加半城徑分,自之為冪,又相並為隅法。開平方得一分之數■。

草曰:別得倍斜行為大弦。又別得乙行五分,城徑六分,甲行十二分。乃立天元一為一分之數以六之為城徑,以五之為乙行分,以十二之為甲行分。乃副置半城徑,上位加甲行步得一十五,以自之得二百二十五為大股冪。下位加乙行步得八,以自之得六十四為大勾冪。二冪又相並,得為大弦冪(寄左)。然後置大弦六百八十步,以自之得■太,與左相消,得■。平方開之,得四十步,即一分之數也。以六之得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲出西門南行,不知步數而立。乙出北門東行見之,乙斜行與甲相會。甲乙二人共行了一千三百六十步,其甲南行居斜十七分之十二,其乙東行居斜十七分之五。問答同前。

法曰:別得共步即二弦也,半共步得六百八十步,副置之。上位以五之,得三千四百,以十七而一,得二百步即乙東行也。下位以十二之,得八千一百六十,以十七而一,得四百八十即甲南行也。二行相減餘二百八十即勾股差也。其餘各依數求之。合問。

或問:甲出西門南行,不知步數而立。乙出北門東行望見之。既而乙謂甲雲:「我取汝六分之五得六百步。」甲謂乙雲:「我取汝五分之三,亦得六百步。」 問答同前。

法曰:如法求得各行步,相並以自之於上。並甲南行冪、乙東行冪以減上為實,並各行為從。半步常法。得全徑。

草曰:置■。以上六分、五分各自直乘步數訖,得■。別得右行三千六百步為六乙行,五甲行也,左行三千步為五甲行、三乙行也。以方程法入之。乃再置 ■。先以左行直減右行,右上空,中餘三乙行,下餘六百步。上法下實,得二百步即乙行也。卻以今右行減於元左行,上餘五甲行,中空,下餘二千四百步。上法下實,得四百八十步即甲行也。既得此數,乃立天元一為城徑。以半之,副置二位。上以加甲行得■為通股,以自之得■為大股冪。下位加乙行得■為通勾,以自之得 ■為大勾冪。二冪相並得■為大弦冪(寄左)。乃並甲行、乙行,以自乘得下式■,亦為大弦冪,與左相消得下■。開平方得二百四十步,即城徑也。合問。

或問:甲從坤隅南行,不知步數而立。乙從艮隅東行,望見之。既而乙謂甲雲:「我所行取汝所行三分之一得二百步。」甲謂乙雲:「我所行內減汝所行四分之三得三百步。」問答同前。

法曰:如法求得各行步,以相乘,又二之。開平方得全徑。

草曰:置■。以上三分、四分直乘步數訖,得■。別得右行六百步為三乙行一甲行也,左行一千二百步為四甲行內少三之乙行步也。以方程法入之。

乃再置■。先以左行直加右行,右上得五甲行,中空,下一千八百步。上法下實,得三百六十步,即甲行也。次以一甲行減元右行六百步,餘二百四十步,以中三除之得八十步,即乙行步也。甲行、乙行二數相乘,得數又倍之。開平方,即城徑也。合問。

或問:股圓差如股五分之三,勾圓差如勾四分之一。又雲其大小差相減餘二百八十步。問答同前。

法曰:二之中差為實。置股子以勾母乘之,內減股母為法。得小差■。

草曰:別得勾圓差即小差,股圓差即大差,雲步即中差。乃立天元一為小差。以四之為勾,勾上加中差得■為股,又三之,得■為五個大差也。內減五之天元,得■為五個中差也(寄左)。乃以五之相減步■與左相消,得■。上法下實,得八十步,即小差也。合問。

或問:股圓差如股五分之三,勾圓差如勾四分之一。又雲勾母每分少於股母每分四十步。問答同前。

法曰:二之少步為實,以股子母相減數減勾子母相減數為法。如法得小差■。

草曰:立天元一為勾圓差,便為勾母每分數以天元加四十步得■為股母每分數於上。乃以股子減股母,餘二分,以乘上位,得■為城徑(寄左)。再置天元在地,以勾子減勾母餘三分,以乘之,得■為同數,與左相消得下■。上法下實,得八十步,即勾圓差也。合問。

或問:甲出南門直行,乙出東門直行望見甲,斜行與甲相會。甲雲:「我行不及股圓差二十四分之十五。」乙雲:「我行不及勾圓差五分之四。」又雲甲行多於乙行一百一十九,股圓差多於勾圓差二百八十。問答同前。

法曰:以大差母分二十四以乘甲多步一百一十九,得數倍小差母五,得一十,以乘之於上。以小差母五乘二之二差相較數,又九之,減上位為實。倍小差母得一十,卻以小差乘之,又九之於上。倍甲分母以小差母乘之,得數減上位以為法。得一分之數一■。

草曰:立天元一以為小差一分之數(此一分之數便是乙直行也)。以五之,得■為小差,加二百八十得下■為大差,又倍之得■,以小差乘之得下式■,為一個圓徑冪,又九之得■(寄左)。乃又置乙行步加一百一十九,得■即甲行步也。以二十四之,得■為九個大差也。倍小差母得一十以乘之,得■為同數,與左相消得■。上法下實,得一十六步,即小差一分之數也。既得此數,餘各如法求之。合問。

或問:大勾、大股、大弦三事和一千六百步,以明勾除大股得八步三分之一,以A1股除大勾得一十步三分之二,以虛勾、明勾相減餘二十四步,以虛股、A1股相減餘六十步。問答同前。

法曰:倍六十步加入大三事和,又三之二而一為實。並二雲數分子內減六步為法。如法得A1股三十。

草曰:別得六十步與二十四步二數相並而半之,得掞泬即明勾、A1股差也,又為虛勾、虛股差也。若以二數直相減即虛黃方也。其二十四步得二虛勾即半徑也,其六十步得二A1股亦為半徑也。立天元一為A1股,加差步得■為明勾也,以乘八步三分之一得■為大股也。以天元乘一十步三分之二得■元為大勾也。勾股相並得下■為大和也(寄左)。然後四之天元加入二之六十步,得■為小三事和。以小三事和加入大三事和為二個大和也。合折半為大和。又就分三之為前數,今不折半三因,但身外加五得■,為同數,與左相消得■。上法下實,得三十步,即A1股也。四之A1股加入二之六十步,得二百四十步,即城徑也。合問。

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