算法部彙考十一

《算法統宗七》

少廣章第四中

立圓法歌

《立圓》問徑法何如？十六乘積，九歸除，除此數常為實積，立方開見更何如？《立圓》：若問周圍數，四十八乘積數，軀乘為實，積用開立，即見周圍數不虛。

法曰：外周者，置積若干，以四十八乘之，得若干為實，以開立方法除之，得周。若要還原，以周自乘；再乘，以四十八除之，見積問徑。置積若干，以十六乘之，得若干，又用九歸之，得若干為實，以開立方法除之，得徑。若要還原，以徑自乘；再乘，以九因十六除之，見積周徑下原有不盡者，或周徑自乘、再乘，併入不盡數周，以四十八除之，見積。徑以九因十六除之，見積若問周問徑遇有餘積不盡者，依開立方下命法命之。

「今有積六萬二千二百零八尺，欲為《立圓》。」問「徑若干？」答曰：「徑四十八尺。」

法曰：置積尺數，以十六乘之，又用九歸之，得一十一萬零五百九十二尺，為實。以開立方法除之，初商四十，自乘，得一千六百，再乘得六萬四千，除實。餘實四萬六千五百九十二尺。另將初商四十以三因，得一百二十為方法，列位次商八尺於初商之次，得四十八尺，就以八乘之，得三百八十四尺，為廉法。以方乘廉，得四萬六千零八十尺，除實。餘實五百一十二。另以次商八尺自乘，再乘，得五百六十二尺，為隅法。除實恰盡，得立圓徑。合問。

此問周徑如圓毬

「今有積六萬二千二百零八尺，欲為立圓。」問「周若干？」答曰：「周一百四十四尺。」

法曰：置積尺，以四十八乘之，得二百九十八萬五千九百八十四尺，為實。以開立方法除之，初商一百尺，自乘，得一萬，再乘，得一百萬，除實，餘實一百九十八萬五千九百八十四尺。另以初商一百，以三因，得三百為方法。次商四十於初商之下，共一百四十，就以四十乘之，得五千六百，為廉法。以方乘廉，得一百六十八萬，除實餘實三十萬零五千九百八十四。另以次商四十自乘，再乘，得六萬四千，為隅法。除實，餘實二十四萬一千九百八十四。再以初次商一百四十，以三因，得四百二十，為方法。再商四尺於初次商之下，共得一百四十四尺。就以四尺因之，得五百七十六，為廉法。以方乘廉，得二十四萬一千九百二十，除實，餘實六十四。又以再商四尺自乘，再乘得六十四，除實訖，合問。

凡立圓問周徑，遇數單者，則有不盡。

今有立方積一萬五千六百二十五步，問「立方一面若干？」

答曰：「二十五步。」

歸除《開立方法》曰：「置積一萬五千六百二十五尺為實，以萬積商二十置於積前，就置二十於右下，自乘，得四百步，與上商二十」相呼，二四除實八千，餘實七千六百二十五步，卻以右下四百步，以三十乘之，得一千二百為法，歸除之呼逢五進五，又呼二五，除一千。另置初商二十步，以次商五步乘之，得一百步，以三因之，得三百步。以加入自乘次商五步，得二十五步，共三百二十五步。於右與次商五步相呼，除之，呼三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二十五步，積盡。以左上二十五步為立方一面之數。《合問》。

今有《立方》積一億零二百五十萬零三千二百三十二尺，問「立方一面若干？」

答曰：「四百六十八尺。」

《歸除開立方法》曰：「置積為實。」以七千萬該商四百尺於左上，又置四百尺於右下，自乘，得一十六萬，相呼，一四除，四千萬尺，又四六除二千四百萬，餘實三千八百五十萬零三千二百三十二尺，卻以右下一十六萬尺，以三乘之，得四十八萬為法。歸除之，呼四三七十二少除。〈因下位數不足除〉呼，四歸起一，下還四呼，六八除四十八。另置初商四百尺，以次商六十尺乘之，得二萬四千尺，以三因之，得七萬二千尺，為廉法。加入次商六十尺，自乘，得三千六百尺，共七萬五千六百