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Page:Gujin Tushu Jicheng, Volume 035 (1700-1725).djvu/40

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十八卷目錄

 算法部彙考十

  算法統宗六少廣章第四上

曆法典第一百十八卷

算法部彙考十

《算法統宗六》

少廣章第四上

此章如田截縱之多,益廣之少,故曰「少廣。」如方田還 原之意,以方法除積冪而求方,以圓法除方實而求 圓,所註開平方平圓頭緒繁穴,初學者難,今註釋簡 明,列於後。

開平方法認商歌

一百一十定無疑,一千三十有零,餘九千九九,不離 十一萬,纔為一百,推得商方,除倍作廉,次商名隅,併 廉除餘數,續商隅。又倍。只依此法,取空虛。

解曰:平方者,乃方面自乘之積也。開者,以求方面之數也。「一百一十定無疑」 者,謂如積一百步,可約方面十步,已無疑矣。「一千三十有零餘」 者,謂積一千步,可約方面三十步有零也。「九千九九不離十」 者,謂如積九千步,約方面九十步,自乘,九九八十一也。一萬纔為一百步,自乘得一萬步也。此言約《初商》之訣,再具《商積》於後。

「開平方」初商定首位訣是自乘之數也。

商一步,積一步,   商一十步,積一百步。

商二步,積四步。   商二十步,積四百步。

商三步,積九步。   商三十步,積九百步。

商四步,積一十六步。 商四十步,積一千六百步。 商五步,積二十五步。 商五十步,積二千五百步。 商六步,積三十六步。 商六十步,積三千六百步。 商七步,積四十九步。 商七十步,積四千九百步。 商八步,積六十四步。 商八十步,積六千四百步。 商九步,積八十一步, 商九十步,積八千一百步。 法曰:「置積為實,別置一算,名曰『《下法》』。」於實數之下,自末 位至首常超一位約實,一下定一數,千百下定十數;萬下定 百數,百萬下定千數。實。上商置第一位,得若干,下位 亦置上商若干,名曰「方法」,與上商相呼,除實若干,餘 實若干。乃以二乘方法。即倍法也得若干,為廉法。續商 置第二位,於上商之次,得若干。下法亦置續商若干, 為隅法。隅法者乃曲尺樣二廉之角為隅則小方也於倍方之次,共若干, 皆與續商相呼,除實盡,得平方一面數。如不盡,仍前 再商之,或數不足,以法命之。何謂之《命若》餘實若干 不盡,卻以所商得平方數若干倍之,再添一箇,共得 若干,便商得面方多一數也。因此數不足而為之命 平圓,不盡數亦倣此,但立方、立圓於此不同。

若要還原,如算方田法,以面方數自乘,即見積也。 若還原遇面方下原有不盡數者,以面方數自乘,併 入不盡數,便可見積也。

開方求率作法本源圖

開方求率作法本源圖

右圖吳氏《九章》內雖有自開平方至五乘方,卻不云 如何作用,註釋未見詳明。今依圖式,自上一得二 為平方率,又併。三三得三三,為「立方率」,又併。四六四得 四、六四,為三乘方率,向下求出三十餘乘方,皆取自 然生率之妙。今略具五乘方圖式,可為求廉率之梯 階也。

又考其平方形如方田,以平方面自乘,得平方積數, 是一乘方。

其立方形如骰子樣,以平方面自乘,得平方積;再以 高方面乘之,得立方積數,是二乘方。

其三乘方,以平方面自乘,得平方積數;再以高方面 乘,得立方積數;又以方面乘,得三乘方積數。故曰「三 乘方。」然其形不知如何模樣,只是取數而已。或至十 乘方,三十餘乘方,皆是先賢取生率之妙,以明開方 正律亦不可廢。

《開平方》。「有實而無法」 ,《商約》而除之也。

今有平方積三百二十四步,問每方面若干?

答曰:「得每方面一十八步