假如今有方田一坵,長闊各五十步,問積稅各若干? 答曰:「積二千五百步,稅十畝零四分一釐六毫六 絲。」
方田
![方田](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0967_-_%E6%96%B9%E7%94%B0.png)
法曰:置長五十步,以闊亦五十步乘之,得積二千五百步為實。以畝法二四除之。定位法,先從原實首位數幾十起,順下至幾步止。下一位定法,首十數逆數陞上,至實首位,合得二千,順下,即是五百也。餘皆倣此。
假如方田斜量:東南角至西北角,西南角至東北角;
方形斜量
![方形斜量](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0968_-_%E6%96%B9%E5%BD%A2%E6%96%9C%E9%87%8F.png)
各斜七十步,問積稅各若干?答曰:「積二千四百五十步,稅十畝零二分零八毫。」
法曰:置斜弦七十步,自乘,得四千九百步,折半得二千四百五十步,為實。
以畝法二四除之,合問定位同前。
假如直田南北各長六十步,東西各闊三十二步,問 積稅各若干?
直田
![直田](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0969_-_%E7%9B%B4%E7%94%B0.png)
答曰:「積一千九百二十步,稅八畝。」 法曰:置長六十步,以闊三十二步乘之,得積一千九百二十步為實,以畝法二四除之,合問。
假如:今有圓田,徑五十六步,周一百六十八步,問積。
圓田
![圓田](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0970_-_%E5%9C%93%E7%94%B0.png)
步若干
答曰:「二千三百五十二步。」 法曰:以徑問積置徑五十六步,自乘,得三千一百三十六步,又以七五乘。
之,得積二千三百五十二步。若周徑問積步,置周 一百六十八步,以徑五十六步乘之,再以四歸之,亦 得。若周問積步,以周自乘,用十二除之,亦得。
假如《覆月田》,弦長五十六步,矢闊二十八步,問積步。
覆月形
![覆月形](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0971_-_%E8%A6%86%E6%9C%88%E5%BD%A2.png)
若干
答曰:「一千一百七十六步。」 法曰:置弦五十六步,併矢二十八步,共八十四步,折半得四十二步,又以矢二十八步乘之,得積。
一法以弦矢相乘,另以矢自乘併之,折半亦得。 假如弧矢田,弦長四十步,矢闊八步,問積步,共該若
弧矢形
![弧矢形](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0972_-_%E5%BC%A7%E7%9F%A2%E5%BD%A2.png)
干
答曰:「一百九十二步。」
法曰:置弦矢相併得四十八步,折半得二十四步,又以矢八步乘之,得積合問。
又考:如前圓田,內除方田一坵,方四十步,占積一千 六百步,四邊四弧矢,占積七百六十八步,共合圓田。
考矢量圓圖
![考矢量圓圖](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0973_-_%E8%80%83%E7%9F%A2%E9%87%8F%E5%9C%93%E5%9C%96.png)
積卻多一十六步,其多者何也?是弦自乘得一千六百步,每百步中多一步,該十六步也。或每《弧矢》內減去四步,只該一百八十八步。又考弧矢田居直田四分之三。
假如《孤矢》田弦長四十步,矢闊八步,問圓中徑該若 干?〈又設此問以辨前大小二弧矢虛實之數〉
答曰:「今改正,得徑五十六步。」
法曰:置弦長,折半,得二十步,自乘,得四百步,以矢八 步除之,得五十步,加矢八步,共得五十八步。卻比前 圖徑多二步,今減去是也。
今改其數,乃是「細半箇圓田」,因弦長而矢短,故虛,數 差不準。
今減二步者何也?是弦長折半得二十步,是十步中 多一步,故減二步也。或云弦長四十步,矢二十步。 問圓徑者,置弦四十步,折半得二十步,自乘得四百 步,以矢二十步除之,得二十步,加矢二十步,即得。 此乃是平半圓田,則數再無差矣。
假如圭田中正長六十步,下闊三十二步,問該積若 干?
答曰:「九百六十步。」
圭田 即半梭
![圭田 即半梭](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0974_-_%E5%9C%AD%E7%94%B0_%E5%8D%B3%E5%8D%8A%E6%A2%AD.png)
法曰:置中長六十步以下闊三十二步乘之,得一千九百二十步,折半,得積九百六十步。合問圭形,乃直田之半,故用折半之法。梭形則是二圭合一也。
假如三角田,每面一十四步,問該積若干?
答曰:「八十四步。」
法曰:置十四步,以六因之,得八十四步,以七歸之,得。
三角形
![三角形](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic0975_-_%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png)
中長十二步。另以每面十四步折半,得七步,因之,合問三角,即圭也。以半闊乘中長十二步,亦得。〈按:三角田,用六因七歸,得中長十二步,其數有差。今以句弦求股法校之,得十二步一分。〉
有零之數
假如梭田,中長五十二步,中廣一十二步。問積若干? 答曰:「三百一十二步