測圓海鏡/卷09

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細草卷九上

○大斜四問

或問：甲丙俱在中心，丙望南門直行，不知步數而止。甲出東門直行，不知步數望見丙，斜行與丙相會。二人共行了六百八十步，仍雲甲直行少於丙直行一百一十九步。問答同前。

法曰：二數相減，餘以為冪，內卻減差冪為平實；二數相減又四之於上，又加入二之差步為益從；二步常法。得皇勾一百三十六。

草曰：別得共步即皇極三事和，少步即勾股差也。立天元一為皇極勾。加少步得■為股也，又以天元加股得■為和也。以和減共步得■為弦也，弦自之得■ 為一段弦冪（寄左）。然後置股以天元乘之，又倍之，得■為二直積，如入少步冪■共得■為同數，與左相消得■。平方而一，得一百三十六即勾也。勾加差為股，勾股相乘，倍之為實，勾股和減共步為法。得城徑。

又法：和數與倍差相加、相減，二得數相乘為平實；雲數並與雲數差相並得數，以減於八之共步為益從；一步常法。得皇極黃方一百二。

草曰：立天元一為黃方（即虛弦也），副置之。上位加共步，得■為二和也；下位減共步，得■為二弦也。先以二和自乘，得■為四段和冪。又以二弦自乘，得■為四段弦冪。二數相減，餘得■元，又倍之得下式■元，為十六段直積於天元位（寄左）。然後副置二和，上位加二之少步，得■為四股。下位減二之少步，得 ■為四勾。勾股相乘，得■為同數，與左相消得■。平方而一，得一百二步，即皇極黃方也。餘各依法求之。合問。

或問：甲丙俱在西北偶起，丙向南行不知步數而立。甲向東行望見丙，就丙斜行六百八十步與丙相會。丙雲：“我南行步多於甲東行二百八十步。”問答同前。

法曰：以雲數差乘雲數並為實，倍多步為從，二為平隅。得大勾三百二十。

草曰：立天元為大平。加差得■為股，倍天元乘之，得■為二積（寄左）。然後以斜步、多步並■與斜步、多步較■相乘，得■為同數，與左相消得■。開平方得三百二十步，即大勾也。合問。

或問：甲乙二人共立於艮隅，乙南行過城門而立，甲東行望乙與城參相直而止。丙丁二人共立於坤隅，丁向東行過城門而立，丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直。丙複就甲斜行六百八十步與甲相會。乙、丁又雲：“吾二人直行共得三百四十二步。”問答同前。

法曰：二雲數相乘，倍之為實；倍斜行於上，以二雲數相減加上位為從；一步常法。開平方，得城徑。

草曰：別得斜步即大弦也。其共步則一徑一虛弦共也，其二數相並為一大和一虛弦共數也。立天元為徑，減於共步得■為虛弦也。以虛弦複減於天元，得■ 為虛和，以斜步乘之，得■（寄左）。乃以天元加斜步，得■為大和，以虛弦乘之得■為同數，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲從北門向東直行，庚從西門穿城東行，丙從西門向南直行，壬從北門穿城南行。四人遙相望，悉與城參相直。隻雲甲丙相望處六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。問答同前。

法曰：共步自之得數。以共步減斜，餘自乘以減上為實。二之斜步加入共步減斜，餘數為從。一步常法。得城徑。

草曰：共行步為一徑與皇和共也，又為大和皇弦差也。甲丙相望即大弦也。以共步減大弦，餘■為皇極弦上減一徑也。立天元一為圓徑，減於共步，得■為皇極和也，以自之得■於上。弦內減共步餘■，又以天元加之為皇弦，以自之得■，減上位，餘得■為兩個皇直積（寄左）。乃以天元乘皇弦得下式■為同數，與左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城徑也。合問。

細草卷九下

○大和八問

或問：庚從西門穿城東行二百五十六步而立，壬從北門穿城南行三百七十五步而立。又有甲丙二人俱在乾隅，甲向東行，丙向南行，各不知步數而立。四人遙相望，隻雲甲丙共行了九百二十步。問答同前。

法曰：庚東行冪、壬南行冪相並於上，並庚壬步而倍之，內減大和，餘複減於庚壬共，得數以自乘減上位為平實。並庚壬步為益從，半步為隅法。得城徑。

草曰：立天元一為圓徑，以半之副置二位。上以減於庚東行，得下■為平弦也；下以減於壬南行，得■為高弦也。二弦相並得■為皇弦、虛弦共也。倍此數得 ■為大弦、虛弦共也。以大弦、虛弦共減於大和，餘■為虛勾虛股共也。天元內減虛勾、虛股共，餘■即虛弦也。複置皇弦虛弦共內減虛弦，餘■即皇極弦也，以自之得■（寄左）。然後以平弦自之，得下式■為勾冪也，又以高弦自之，得■為股冪也。二冪相並得■為同數，與左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲丙俱在西北隅，甲向東行不知步數而立，丙向南行望見甲，就甲斜行與甲相會。甲直行、丙直行共九百二十步（甲步少於丙步）。又：出東門南行有柳樹一株，出南門東行有槐樹一株。戊己二人同在巽隅，戊就柳樹，己就槐樹，亦與甲、乙遙相望。隻雲己行少於戊行數與兩樹相距數相並，得一百四十四步，其二數相減餘六十步。問答同前。

法曰：二雲數相並而半之為虛弦，以乘大和九百二十步於上。以一百四十四減大和，以虛較乘之，減上位為平實。以一百四十四減大和，又二之於上，以二之虛較減上位為從。四虛隅。得太虛勾四十八。

草曰：別得甲丙直行共即大和也，戊就柳樹步即虛股也，己就槐樹步即虛勾也。其一百四十四步即二明勾，其六十步即二Ａ１股也。立天元一為虛勾，加明勾得■為半徑也，倍之得■即城徑也（又為虛弦上三事和）。二雲數相並而半之，得■即小弦也。相減而半之，得■即小較也。以天元加較得■即小股也，小勾股共得 ■即小和也。以小三事減大和得■即大弦也。乃先置小和以大弦乘之，得下式■（寄左）。次以小弦乘大和，得■，與左相消得下式■。開平方得四十八步，即虛勾也。加明勾又倍之得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲從乾隅東行，乙從艮隅南行，丙從乾隅南行，丁從坤隅東行，四人遙相望見。既而甲還至艮隅就乙，丙還至坤隅就丁。甲丙直行共九百二十步，甲還就乙共二百三十步，丙還就丁共五百五十二步。問答同前。

法曰：並就數以減直行共，複以所並就數乘之為實；並就數減直行共，得數複加入直行共為法。得虛弦。

草曰：別得甲丙直行共為大和也，甲還就乙步為小差勾股共也，丙還就丁步為大差勾股共也。以大差勾股共減於大股，餘即虛勾也。以小差勾股共減於大勾，餘即虛股也。二數相並得■為大弦虛弦共也，二數相減，餘■為通差及太虛勾股差共也。又並二數而半之，得■為皇極弦虛弦共，又為皇極勾股共也。立天元一為虛弦。先以二共數減於大和，餘■為虛勾虛股和於上。次以虛弦減於二共數，餘■為大弦，以乘上位，得下■（寄左）。然後以天元乘大和，得■元為同數，與左相消得■。上法下實，得一百二步，即虛弦也。加入虛和得二百四十步，即城徑也。合問。

又法：並雲數減大和，複以雲數相減乘之為實；並雲數減大和，得數複加入大和為法。如法得虛差四十二。

草曰：立天元一為虛較。先以並雲數減大和，餘■為虛和於上。次以天元減於■得■為通差，以乘之得■（寄左）。然後以天元乘大和為同數，與左相消得 ■。上法下實得四十二步，即虛差也。副置虛和為二位，上加虛差而半之，得九十即虛股也。下減虛差而半之，得四十八即虛勾也。勾冪■，股冪得■，相並得■。開平方得一百二步，即虛弦也。加入虛和得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：依前見大和，隻雲股圓差上勾弦差二百一十六，勾圓差上股弦差二十步。問答同前。

法曰：以雲數二十步減通和，複以二十步乘之於上。以雲數二百一十六減九百步而半之，乘上位為立實。三因二十步以減通和得八百六十，以二百一十六及二十共得二百三十六，減通和而半之，得三百四十二。二數相乘訖，內減二十之九百步。又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八，又二十之以減之為從方。以二百三十六減通和，又以三之二十步減通和，相並於上。以二之五百五十八內卻減二十步，餘以加上位為益廉。四步常法。得小差股一百五十。

草曰：別得小差上股弦差■加二股為大勾也，大差上勾弦差■加二勾為大股也。立天元一為小差股，加■得■為小差弦也，小差弦上又加天元得■為通勾，以減於和步得■為通股也。通股內減■得■，半之得下式■即大差之勾也。大差勾上又加■，得■為大差弦也。再置通股以小差弦乘之，得■，以天元除之，得■為一個大弦也（泛寄）。再置通勾以大差弦乘之，得■，合以大差勾除。不除寄為母，便以為大弦（寄左）。乃以大差勾乘泛寄，得■為同數，與左相消得■。益積開立方，得一百五十步，為小差股也。合問。

或問：依前見大和，隻雲高弦、平弦共得三百九十一步，高弦、平弦相較得一百一十九步。問答同前。

法曰：以較數冪減於共數冪，又半之為實，以共數減大和為益從，一常法。開平方，得圓徑。

草曰：別得高弦減於通股為邊股內減明股也，平弦減於通勾為邊勾內減明勾也。其共數即大弦內減皇極弦，又為皇極勾股共也，其相較步即皇極差也。二雲數相並得■，即黃廣弦也。二雲數相減，餘即黃長弦也。以共數減於大和，餘■為皇極弦、圓徑共。立天元一為圓徑，以減於■為皇極弦也。以共數自之得■於上。以相較數自之得■，減上位，餘■，又半之得■為兩段皇極積（寄左）。乃以天元乘皇極弦，得■為同數，與左相消得下■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：依前見大和，隻雲大差弦四百○八步，小差弦一百七十步。問答同前。

法曰：以並雲數減大和，複以乘大和，又倍之為平實。三之通和於上，又以並雲數減大和，加上位為從。二步虛法。得圓徑。

草曰：大差弦減和步，餘■為大勾、大差勾共也。以小差弦減大和，餘■為大股、小差股共也。雲數相並得即大弦內減虛弦也，雲數相減得■為虛弦平弦共也。以相並數減於大和，餘■為大差勾、小差股共，又為圓徑、虛弦共也。立■天元一為圓徑，減於■得■為虛弦也。反以減於圓徑得■為小和也。以天元減大和得 ■為大弦，以乘小和，得■（寄左）。乃再置虛弦以通和乘之，得■，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：依前見大和，隻雲黃廣弦五百一十步，黃長弦二百七十二步。問答同前。

法曰：雲數相並減大和，複以相並數乘之為實。雲數相並減大和，得數複以加大和為法。得虛弦一百二。

草曰：別得黃廣弦又為大差弦、虛弦共，又為邊股、Ａ１股共也。黃長弦又為小差弦、虛弦共，又為底勾、明勾共也。以黃廣弦減於大股，餘■即虛股，以黃長弦減於大勾，餘■即虛勾。故並數以減於大和，餘■為虛和也。以虛和減徑即虛弦也。二雲數相並得■為大弦、虛弦共也，雲數相減餘■為虛弦、平弦共。立天元一為虛弦，以減於七百八十二，得■為大弦也，以小和乘之得■（寄左）。乃以天元虛弦乘大和，得■為同數，與左相消得■。上法下實，得一百二步，即虛弦也。合問。

或問：依前見大和，隻雲邊弦五百四十四步，底弦四百二十五步。問答同前。法曰：雲數相減自之為實，以大和減並數為法。得皇極弦■。

草曰：別得以邊弦減大股，餘■為半徑內減平勾，又為平弦內減勾圓差也。以大勾減於底弦，餘■為高股內少半徑，又為股圓差內少高弦也。二雲數相並，得九百六十九為大弦、皇極弦共也。二雲數相減，得■為皇極勾股差也。並數內減通和，餘■為皇極弦內減圓徑也。立天元一為皇極弦，以自之於上。以一百一十九自之得■，減上位得■為二皇積（寄左）。複置天元內減四十九得下式■為黃方。複以天元乘之，得■，與左相消得■。上法下實，得二百八十九步，即皇極弦也。內減四十九，餘即城徑也。合問。