新法算書 (四庫全書本)/卷091
| 新法算書 卷九十一 |
欽定四庫全書
新法筭書卷九十一 明 徐光啟等 撰測量全義卷五
圓靣求積
凡圓面積與其半經線偕半周線作矩内直角形之積等依此法則量圓形者以半徑乘半周而已古髙士亞竒黙徳作圜書内三題洞燭圎形之理今表而出之為元本焉第一題
圓形之半徑偕其周作句股形其容與圓形之積等解曰丙丁戊己圓形其心乙其半徑乙丙即以為股形之周為句成午申酉句股形題言两形之容等
論曰設有言不等必云或大或小云圓形為大句股形小者索其較為亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直線形從心至八角形之各邊作甲乙等中垂線試於圓形内減其大半所餘又減其大半末所餘以比較形亥必能為小矣〈十卷首題〉如先減丁丙己戊方形次減丙癸己等三角形八末餘丙庚丙癸等二角雜形八必小于亥形也次作午未戌三邊形與丙庚丁八角
形等必小于午申酉三邊形何者
未午乙甲也小于圏半徑乙庚先
設午申酉三邊形及亥較形始與
圏等今午未戌三邊形及八兩角
雜形適與圏等夫午申酉三角形
大于午未戌三角形亥形又大于
八兩角雜形是合兩大形〈即午申酉及亥
較形〉與圏等者復謂合兩小形〈即午未戌
及八兩角雜形〉與圏等有是理乎
次論曰若言圏形為小句股形大
者索其較為亥形即于圏外作子
寅丑己正方形又作卯辰八角形
夫寅己方形大于午申酉三角形
者方形之周線大于圎形之周線
也内减其大半〈即元圈〉又减其大半
〈即卯辰子等四三角形也〉末餘丙卯庚庚辰丁
等三角雜形八必小于較形亥又
作午申亢三角形與丙卯辰八角
形等兹形為圏之外切必大于元圏而午亢為外形之周必大于午酉内圏之周先設圏及亥形與午申酉三角形等今并圏及三角襍形八〈即丙卯庚等八雜形也〉反大于午申酉三角形是圜偕八雜小形而為大者又偕亥大形而為小可乎
第二題
凡圏周三倍圏徑有竒〈二支〉
此有二法其一云三倍又七十之十則朒其二云三倍又七十一之十則盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊為心甲戊乙戊為两徑輳心作直角從甲作午子切線從乙從丁作乙己丁壬線與乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等形之邊設甲午股一百五十三〈任設此數以便推算〉午子或午戊
必三百○六各自之股方得二萬三千四百○九方得九萬三千六百三十六相减餘七萬○二百二十七為句方開得二百六十五有竒為戊甲句半徑也則戊甲與甲午之比例為二六五有竒與一五
三次平分午戊甲角作戊庚
線任分午甲于庚則午戊與
戊甲若午庚與甲庚〈六卷三題〉合
之戊午偕戊甲而與戊甲若
午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午并戊甲而與午甲〈即午庚偕甲庚〉若戊甲與甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲為一五三則戊午并戊甲與甲午之比例若五七一與一五三若設甲庚一五三則戊甲與甲庚之比例為五七一與一五三矣即以兩數自之并而開方得五
九一又八之一不盡為庚戊
線〈戊甲甲庚之〉則庚戊與甲庚之
比例若五九一又八之一不
盡與一五三次平分庚戊甲
角作戊辛線則戊庚并戊甲一一六二又八之一與庚甲一五三若戊甲與甲辛若設甲辛一五三則戊甲為一 一六二又八之一有竒兩數各自之并而開方得二七二又八之一為辛戊線〈甲戊甲辛之〉則辛戊與辛甲之比例若二七二又八之一與一五三次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊并戊甲二三三四又四之一與辛甲一五三若戊甲與甲寅若設甲寅為一五三則戊甲為二三三四又四之一有竒兩數各自之并而開方得二三三九又四之一有竒為寅戊線〈戊甲甲寅之〉則寅戊與寅甲之比例若二三三九又四之一有竒與一五三次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊并戊甲四六七三半有竒與寅甲一五三若戊甲與甲未若設甲未為一五三則戊甲為四六七三半有竒
論曰午戊子元角為三等角形之一即一直角三之二
午戊甲其半則三之一庚戊
甲其半則六之一辛戊甲其
半則十二之一寅戊甲其半
則二十四之一未戊甲其半
則四十八之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申角形其戊角為直角二十四之一而未申
為象限二十四之一于全周為九十六之一未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與圈全徑之比例若戊甲四六七三半與甲未一五三末置九十六邊形之一邊為一五三因周為一四六八八徑為四六七三半有竒則九十六邊圈外形之周與圏徑之比例為一四六八八與四六七三半約之為三又七之一不足則徑為一九十六邊圏外周為三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙徑從丙作六邊形之一邊丙甲與半徑戊丙等〈四卷十五〉從乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内則甲為直角〈三卷三十一題〉設甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○兩數自
之相减開方得一千三百五十
一不足為乙甲股則乙甲與甲
丙之比例為一三五一與七八
○次平分甲乙丙角作乙丁線
又作丁丙線成乙丁丙丙丁己
兩直角形相似盖同用丁直角
在半圏内甲丁丁丙兩所乘之
等則丁丙己丁乙丙兩之
角必等〈三卷二十一〉夫兩形有兩角
等者各腰俱相似則乙丁〈大形之股〉與丁丙〈大形之句〉若丁丙〈小形之股〉與丁己〈小形之句〉又乙丙〈大形之〉與丁丙〈大形之句〉若己丙〈小形之〉與丁己〈小形之句〉更之乙丙與己丙〈兩〉若丁丙與丁己〈兩句〉是乙丁與丁丙〈兩股〉丁丙與丁己〈兩句〉乙丙與己丙〈兩〉三比例皆等又乙丙與己丙〈兩〉若乙丙并乙甲〈兩腰〉與甲丙底之兩分〈見前解〉則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并為二九一一弱甲丙先設七八○則乙丁與丁丙亦為二九一一弱與七八○各自之并而開方得三○一二又
四之一弱為乙丙〈乙丁丁丙之〉則乙
丙與丁丙之比例為三○一三
又四之一弱與七八○次平分
丁乙丙角作辛乙線因前比例
論得乙辛與辛丙比例之數盖
丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與
辛丙先定乙丙三○一三又四
之一乙丁二九一一弱并為五
九二四又四之一弱今丙丁為
七八○則乙辛與辛丙為五九二四又四之一弱與七八○欲省數改設辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛為五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛為一八二三弱兩數自之并而開方得一八三八又十一之九弱為乙丙線〈乙辛辛丙之〉則二四○與一八三八又十一之九為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙兩線辛乙乙丙兩數并為三六六一又十一之九弱與辛丙二四○為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六六依三率法乙壬為一○○七弱兩數自之并而開方得
一○○九弱則六六與一○○
九為壬丙與乙丙兩線之比例
末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
兩線乙庚與庚丙若壬乙并乙
丙二○一六又六之一與丙壬
六六兩數自之開方得二○一
七又四之一弱為乙丙〈乙庚庚丙之〉則庚丙與乙丙兩線之比例為
六六與二○一七又四之一弱
論曰丙甲為全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚為九十六邊内切圏形之一邊也以九六乗六六得六三三六為九六邊内切形之周乙丙徑為二○一七又四之一弱兩數約之一得三又七一之十強形之周也一得一圏之徑也夫圜周在多邊形之外即大則謂三倍徑又七十一之十不又盈乎
第三題
圜容積與徑上方形之比例
解曰一為十一與十四而朒一為二
百二十三與二百八十四而盈先解
朒者乙戊辛圈甲丙戊方引長甲丙
邊為甲丁其大于甲丙為三倍又七
之一則與周等為句甲乙邊圈之半
徑也為股成甲乙丁角形其積與圈
積畧等〈不甚差故〉又乙甲丙直角形因丙
甲與甲丁若七與二十二則甲乙丙
與甲乙丁兩形之積亦若七與二十
二〈六卷一題〉甲乙丁與圏等則甲乙丙形與圈積亦若七與二十二夫甲乙丙為方形四之一四之得二十八即兩形積之比例為二十八與二十二約之為十四與十一也次解盈者甲丙設七十一甲丁二百二十三與圏周等則甲乙丙與甲乙丁兩形之積為七一與二二三四倍七一得二八四全方之積與甲乙丙形之比例為二二三與二八四
一題之系 半徑全周成三邊形與圏積等依句股法半徑偕半周矩内方形與圏積等若全徑偕全周矩内方形則四倍圏積幾何〈六卷二題〉曰相似形之比例為兩相似邊再加之比例故邊倍則實四之二題之一系 設圏徑求周求容 凡設徑求周用盈法七為一率二十二為二率所設徑為三率得四率為所求周 用朒法為七十一與二二三若徑與周古士論圏大小大都准此二論反之以周求徑亦然
二系 圈之徑與徑若周與周子之徑與徑亦若母之周與周假如一圏之徑為七周為二十二他圏大于元圏四倍其徑二十八則其周八十八亦四倍大于元圏之周
三系 周線上方形與圏之積若八九二與七十一則盈若八八與七則朒周與他周若徑與他徑 周線上方與他周上方若徑上方與他徑上方〈十二卷二題〉徑方與他徑方若圏與圏則周方與他周方亦若圏與圏更之周之方與本圏之積若他周之方與其圏之積如設周一用一系之法則八九二一率也七十一二率也所設一三率也所得之徑為二二三之七十一其容積為八九二之七十一周之方一全數也通之為八九二圏之積零數也為七十一是謂周方與圏為八九二與七十一而盈或二十二與七其徑二十二之七其積為八八之七周之方一全數也通之為八八圏積為零數則周方與圏為八八與七也三題之系 設徑求圏積則比例之母十四為一率子十一為二率徑之方數為三率所得為圏之積而盈或三八三為一率二二三為二率徑之方數為三率所得為圏之積而朒假如設徑十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之設圈容求徑則十一與十四若圜容與某數其方根為徑
又設周求圏之容因一系之法八九二與七十一若周之方數與圏之容而盈或一八八與七若周之方數與圏之容而朒反之設圏求周則七與八八若圏容與某數其方根為周
徑與周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之數積至二十一字為萬億億難可施用○徑一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
〈大周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七
〈小周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六
約之首取三字為一百之三百一十四則三倍又百之十四
再約得七之一又朒如前
論曰總之不論若干位但加一即贏减一即縮贏即外切線縮即内也皆非周也
古設周問積法曰周自之十二而一此猶是徑一圍三較之徑七圍二十二者尤疎也故不合
古設徑問積法以徑自乗三之四而一如設徑一自之得一三之得三四而一則四之三為圏之積全數〈即母數〉為徑上之方形則知徑上之方與圏之積為四與三然前論為一四與一一而合今之四與三則所謂虛隅二五也如圖甲乙設十自之為一百平分之為乙丙丁五十又平分之為丁戊乙丙三角雜形丁戊乙二角雜形各二十五二角雜形必小于三角雜形安得合乎
量撱圓法 撱圓形者斜截圓柱所成兩面形也形有長短二徑古士黙徳本論曰兩徑之中比例線為徑作圏
與撱圓等則兩
徑為第一第三
率相乗所得方
數為第二率又同線上之正方與圏容為一四與一一今兩率相乗者即中率正方之數〈此比例法見幾何六卷三十三題之第十增〉故以兩徑相乗得數以一一乗之以一四除之得撱圓之積也
量圈之一分
第一圖〈名兩半徑形〉
設半徑及用全與全若分與分之比例 法曰以半徑乗得積半之為本形積盖全周與全圈積若周之分與圈積之分如半徑六十二相乗得七十
二半之三十六為本形積
第二圖〈名兩内形〉
設兩兩丙戊為徑從心作甲乙甲丁線成甲乙丙甲丁戊各兩半徑形依前法各求積又甲乙丁直線形兩腰
等有丁乙求其積三形積并為乙丙戊丁設形之積第三圖
即第二圖之半同理
第四圖〈名形〉
有本圈徑設求其積法先求半圈積次求兩形之積兩數相减餘為設形之積如丙乙巳戊圈其徑丙戊設乙丁求乙已丁之積置乙巳丁一一又七之六
圈徑十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之為十八又七之六内减設形之一一又七之六餘七為丁戊乙丙兩之數半之為三半丁戊也作丁甲乙甲兩線因前法求丁戊乙丙兩形之積得二十八又九之八又求半圈之積得五七又七之四内减兩形之積二十八又九之八得二十七又六十三之四十二為設形之積若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲兩邊有丁甲乙
角得丁乙邊為設形之
若形大于半圈者以兩之積加於半圈之積
若不知本圈之徑則先求徑其法丁乙半之作巳辛垂線量其度得數為法之半數自之為實而一得本圏之徑〈㡬何三卷五十五〉如量己辛得一又九之五法也丁辛為四自之十六實也除之得十又九之二加己辛得十二全徑也若辛己不可得量是屬無法之形
第五圖
設小半形如甲乙丙則以甲丙句甲
乙股各自之并而開方得乙丙成乙
丙小形有乙丙依前法求積次求
甲乙丙句股形之積并之即得〈一圖〉若止設一直線為徑之一分〈甲丙也〉而知
本圏之徑法先求丁戊丙象限積次求
丁乙甲戊兩形之積相减餘為甲乙
丙形之積〈二圖〉
若所設乙甲丙非直角而知本圏之徑
法先求戊丁丙象限積次求甲乙辛句
股積盖形有甲辛兩角甲乙邊可得餘
邊即得其積末用前法求乙辛丙半
形之積内减甲乙辛句股積餘為設形
之積〈三圖〉
若乙甲丙為銳角乙辛股線在設形之内則以甲乙辛形之積加于半形積〈四圖〉
或設本圏之徑作戊乙線法以半徑乗得數半之得戊乙丙形次求甲乙戊直線形之積則乙戊半徑也乙甲設形之邊也戊甲為丙甲與半徑之較依法得積以减戊乙丙兩半徑形之積餘為設形積〈五圖〉
或依三角形法作乙丙線成甲乙丙三角形有甲乙甲丙兩邊有甲角以求乙丙餘如前〈六圖〉
若半形之邊如甲乙甲丙大于半徑即作乙戊線先求乙戊丙兩半徑形之積次求甲戊乙三邊形之積并之如前若不知本圏之徑則屬無法形之法〈七圖〉或依三角形法以甲乙甲丙兩線及甲
角求乙丙邊求積次求乙丙形之積如前法〈八圖〉第六圖〈名兩之形〉
若知各之徑者法與一形等
若設兩亦設中長線則分元形為兩
形 若不知本圏之徑亦不知中長
線屬無法之形
第七圖
以分之成直線形者一成形
者三四以上各以前法量之
若為球體撱圓體圓角體之外面法見量體法中〈第六卷〉古法設長濶問積見長方又設長闊總數長濶較等問見句股義
量面用法
以木造矩錐平
者為盤直者為
幹盤徑五六寸
厚二寸面畫兩徑輳心成直角刻成渠深五分廣一分下作鑿以受幹也幹徑一寸以上長四五尺令平立者目切其盤之面幹之末施鐡鍤焉别具望竿數事略與幹等器成先試之法于平地卓錐從一徑之渠向左向右各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線又從他徑之渠向前向後各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線次轉器易徑以望先立諸竿仍作直線則為如法之器第一題
直線内一㸃上求作垂線〈㡬何一卷十一〉
法曰設㸃上卓錐轉器令一徑合于設線次從他徑卓數竿題言諸竿所作直線與元線為直角與盤上直角
等
第二題
直線外一㸃上求作垂線
法曰設㸃上卓一竿持器循設線上㳺移遷就令一徑合于元線一徑與望竿為直線次從㸃至錐下作線則元線之垂線也
凡設田形量其歩畆前法足矣然未知直線形之是否直角曲線形之是否中且高下之數非目營可得欲求其度立公法如下文總之以句股為本凡圖中斷線所作線也聨線元形線也邊上有○卓錐之處也
三邊田法從大邊用器㳺移遷就向對
角立垂線分元形為兩句股形〈一圖〉
四邊田先用器試各角是否直角直者用正方量之不
直依圖
分句股
形令分
餘者各
兩對邊為平行線用正方長方法量之〈二三四圖〉
多邊形田從大邊如甲上作
甲乙垂線從大邊兩界如丙
如丁作丙戊丁己兩垂線丁
己線上立乙辛垂線又立庚
寅己午兩垂線丙戊線上立酉乙垂線是元形内有二方形七句股形量時依元設丈尺步數化大為小作圖亦用元度作新立諸線各如數𥮅之并之得元形之積〈五圖〉
若田形以曲線為邊宜先
求直線形法取一線為徑
徑上宻宻卓錐作諸平行
線末各直角上加器成諸
長方形亦成諸三邊形曲
線為邊者大圏之也即依直線法量之所差甚微〈六七圖〉
或田中為房舍林木等物所隔難作
中長線法于田外依一邊作大方形
形邊上向田之各角作線是元形之
外方形之内有若干句股形并諸句
股積以减方形積餘為元形之積〈八圖〉
增題 多
無法形量法從田心如癸加象限邉向乙角窺丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
辛各定其癸角之度次以公量法量癸
乙癸丙等線元形内有三邊形七每形
有一角兩邉因法求餘邉求毎形之積
并而得元形之積
中空田法先求大形之積次求空形
之積如方田一叚各邊十丈中為圓
池徑七丈則方形之積一百丈池之
積三十八丈半减餘六十一丈半為
設形之積
求環田積用兩圏之徑或周以次求
大小圓積相减餘為環田之積如設
環之外周為四十四内周為二十二
則大圓積一百五十四小圓積三十
八半减餘一百一十五半環田之積也
變形法
其一設三角形求變為等底等積方形
凡設形求變者皆截元形之實補求形之虛也如上一圖甲乙丙元形求變為丙丁戊方形其元形之大邊為底法平分兩腰作中線與底平行次以中線為底作對角垂線成甲乙兩形從元底兩端向中線各作垂線成戊丁兩形則截甲實形移補交角之丁截乙實形移補交角之戊成
丁丙戊方形與元形等底等積
如二圖小邊為底亦平分兩腰作平行中線次從上角從鈍角各向中線作垂線成甲乙兩句股形及丙斜角形次截甲實形移為交角之乙并丙乙實形移為交角之丁成丁戊方形如所求
如三圖鈍角上垂線截中線出元形之外甲戊丁己兩線為等作己垂線成甲小形則截交角之乙實形移為甲并甲兩實形移為交
角之丁并丁己成四邊實形移為相似之戊〈形并戊庚如所求〉
如四圖兩腰甚長亦如前作中線于中線上截取庚丁壬己各形之邊皆與底等而成各直角四邊形又從兩交截取癸形與夘等即甲與乙夘癸與夘各交角之兩形各等先截取癸實形移補交角之虛夘次并夘乙作三邊實形移補交角之虛甲次并甲丙作四邊實形移補相似之虛壬次并壬丑作四邊實形移補相似之虛丁次并丁戊作四邊實形移補相似之虛己次并己寅作四邊實形移補相似之虛庚次并庚辛即所求其二設一方形一線求變為他方形其邊與設線等如上一圖設丁戊方形求變他形其邊與甲等法從乙丁邊取乙丙與甲等從戊角作戊丙迤線〈丙非角故不名對角〉引長之與己丁之引長線遇于辛成丁辛丙三角虛形次于己戊邊取
己庚與甲等次從庚作垂線成壬庚戊三角實形以此實形移補丁丙辛虛形又以戊丙迤線上形移置壬辛迤線上即成庚辛方形如所求如二圖設形為斜角與上同法
若所設線甚小幾倍之得為元形邊則平分
元形為幾形如前法變得各小形并之為一大形如所
求
如三圖所設線大于元形邊則引長己戊邊為己庚與甲等作庚丁對角線成戊庚壬三
角虛形次取丁丙與壬庚等成丁辛丙實形移補壬戊庚虛形又乙壬丁實形之壬角移為庚角成庚辛角形即所求
其三設矩内形變為正方形
如圖以設形之兩邊連為一直線求心作半圏次從兩線之界㸃作垂線為兩率之中比例線即用為設線依前法變設形為他形其邊為設線
其四設多邊形變為正方形
先以直線分元形為若干三邊形
次依第一法變各三邊形為矩内形
三任取一線為設線依上法變各矩形皆為等邊形
四并各等邊形成一大矩形
五依第三法求大矩形兩邊之中比例線成正方形
以上四法若反求之則亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
矩内形是也
其五兩正方形變為一正方〈㡬何原本一卷四十七題備論其理此則用法〉置兩正方形以角相切令其邊為直線角之外為直角即成甲句股虛形其聨兩元形之各一角即以為底作正方形其積與兩元形并積等其變法作丙戊庚己丁
矩形及乙寅線又截壬形與子形庚形
等次截取癸實形移補丙丁虛形次取
丙子實形移補甲虛形次取壬實形移
補庚虛形次取庚丑實形移補戊〈己庚〉虛
形次取戊實形移補辛虛形
成夘辰午未正方形
其六設矩形求變為他矩形
其邊各有比例如設一形欲
作他形等積而兩邊之比例
若五與四法分大邊為五小邊為四作平行分線如甲乙形次依丙丁罄折線截訖移就成戊己形
第四題
截形法
借題云設多邊形截為多三角形求作多線以當各形
之比例如圖甲乙丙丁戊多邊形從甲
角作甲戊甲丁甲丙各對角線分元形
為四三角形求其比例法曰從各角向
各對線為垂線如己向庚戊向辛丁向
壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因對角線短故垂線在形之外盖三角形論底論高不論垂線内外因幾何六卷第一題增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁兩形同用甲戊為底即己庚壬丁兩垂
線為兩形之比例又甲戊丁甲丁丙
兩形同用甲丁為底即戊辛丙癸兩
垂線為兩形之比例甲丁丙甲乙丙
兩形同用甲丙線為底即丁子乙丑
兩垂線為兩形之比例也今欲作四線之比例與此四形之比例等依幾何原本六卷第十九題三直線為連比例則一線上形與二線上形若一線與三線今以一垂線當一形以第二第三率通為一比例而求末率〈即第三線〉則一形與二形若一線與三線也如上圖壬丁之形與戊辛之形同底而壬丁為一率戊辛為二率己庚之形與某線之形同底而己庚為三率某線為四率則以戊辛之數通為己庚之數而求其線即壬丁與戊辛若己庚〈元數〉與某線而某線之數為己庚之次數又丁子與丙癸若乙丑〈元數〉與某線而某線之數為乙丑之次數今一設三角形從一角命截幾分之幾法于角之對邊平分如命數從角作線截取一分為得數如甲乙丙形從甲命分四之三即四平分丙乙線為丁戊己次從甲作甲丁分元形為二其比例如丙丁與丁乙
又命分四之一而其截線求與命角之對邊〈如丙乙〉平行法四平分甲乙腰四乗三〈命分數内减得分以其餘乗命分〉得十二開方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
丁作丁戊線與乙丙平行截元形為二其積如三與一而丁丙為四之一甲乙戊為四之三
二設多邊形從一角命截幾分之幾法依前借題分本
形為若干三邊形又如前次第求各形
之比例線〈因形求線〉合之成一直線如圖為
乙丙丁戊己若命分為四之一即四平
分之若第一分在乙丙線内則分甲乙
丙形之乙丙邊如乙丙比例線其一分
所至為乙壬作甲壬線截甲乙壬形為元形四之一若欲截分在甲己之旁則分甲己戊形之己戊邊如戊己比例線其一分所至為己辛作甲辛線截甲己辛形為
元形四之一若命分之界不在元形之
角如甲乙邊内取庚㸃為界法從庚向
各角作線求各形之比例線如前
上二法俱從甲或庚為截分之總界其他形若能為對角線在形之内者任用各邊各角皆可為截分之界若作對角線而切本形邊或出形之外則不能為截界如圖
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁諸線各切本邊但可從丙截之
三設方形命截幾分之幾法任分一邊
如命分數取得數作平行線或正方或
斜方或矩形皆同理若以角為截界則
與上文多邊形同法
四設梯田命截幾分之幾如四分
之一法上下兩〈邊各四平分而取其一作直線聨之〉
或用角為截界則與前多邊形同法
若命截線與底平行則用三率法依設形成三角形得其腰求兩形之比例得全三角之積若干小三角形之積若干以小减大得梯形積若干因算梯形之㡬分得全形之幾分隨用前第
一設截三角形之法得所求
假如大底為十上邊為六斜邊得四上下邊之較四半之得二為第一率大底半數五為二率斜邊四為三率算得全形之腰為十此全形有兩腰有底求其積得四十三又三之一其小形有兩腰各六有底六求其積得十五又五之三以減全積得二十七又三之二弱為元梯形之積今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全積得六有五之二弱為元形四之一亦為全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒為母五有竒〈减一得子〉為子相乗開方得五○○即從全形上角分全腰為六分有五之二弱内取五又五之四強作平行線分元形如所求〈或取三十二而取二十九〉
若近小底命作截線其理同上但母子數不同上得元形四之一分為六又六十之四十六畧約五之四今所求者四之三則三倍之得二十又三十之九以倍數與全數相乗得數開方得二十九半即從上角如法取作平行線分元形如所求〈或分全腰為四十三又三之一從上角取二十九半作線〉凡梯田在平行線内但底等即其積等
不論角大小
若兩梯田截法先求各形之積次算此
形所截之分為彼形之㡬分其用法如
前
〈有本法本論於法算諸書中詳之此不及備著〉
〈新法算書〉
〈卷九十一〉
此外别形尚多各
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