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數度衍 (四庫全書本)/卷06

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卷五 數度衍 卷六 卷七

  欽定四庫全書
  數度衍卷六
  桐城方中通撰
  勾股勾股之一
  周髀勾股圓方圖



  趙君鄉注曰勾股各自乗并之為弦實開方除之即弦鸞曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五開方得五弦圖又可以勾股相乗為朱實二倍之為朱實四以勾股之差自相乗為中黄實倍勾弦差二為四自乗得一十六為左圖中黄實也淳風曰干率不通加差實亦成弦加差實一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成弦實也淳風曰于率不通唐寅曰加差實之一于前文所言朱實四之上朱實之四為二十四加一得二十五也以差實減弦實半其餘以差為從法開方除之復得勾矣以差實九減弦實二十五餘十六半之為八加差一得九開得勾三淳風曰以差實一減弦實二十五餘二十四半為十二以差一從開得勾三鸞言于率不通加差於勾即股加差一于勾三得四凡并勾股之實

  即成弦勾實九股實十六并得二十五弦或矩於内或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之矩以股弦差為廣股弦并為袤以差一為廣股四并弦五得九為袤左圖外青而股實方其裏左圖中黄十六減矩勾之實於弦實開其餘即股減九於二十五餘十六倍股在兩邊為從法開矩勾之角即股弦倍股四為八為從開九得一也加股為弦加差一于股四得五以差除勾實得股弦以一除九得九即股四弦五并數以并除勾實亦得股弦以九除九得一令并自乗與勾實為實九自乗得八十一又加九得九十倍并為法倍九為十八所得亦弦以十八除九十得五勾實減并自乗加法為股以九減八十一餘七十二以十八除之得四股實之矩以勾弦差為廣勾弦并為袤以差二為廣勾三并弦五得八為袤而勾實方其裏右圖中青九減矩股之實於弦實開其餘即勾減十六于二十五餘九倍勾在兩邊為從法開矩股之角即勾弦倍勾三為六為從開十六得二也加勾為弦加差二于勾三得五以差除股實得勾弦以二除十六得八即勾三弦五并數以并除股實亦得勾弦以八除十六得二令并自乗與股實為實八自乗得六十四又加十六得八十倍并為法倍八得十六所得亦弦以十六除八十得五股實減并自乗如法為勾以十六減六十四餘四十八以十六除之得三兩差相乗倍而開之所得以股弦差増之為勾一與二乘得二倍為四開得二増一為三以勾弦差増之為股以二増二得四兩差増之為弦二之上又增一與二得五弦實列勾股差實見弦實者以圖考之倍弦實滿外大方而多黄實黄實之多即勾股差實倍二十五為五十滿外大方之七七四十九而多一數即勾股差實也以差實減之開其餘得外大方大方之面即勾股并以差實一減五十餘四十九開得七即勾三股四并數令并自乗倍弦實乃減之開其餘得中黄方黄方之面即勾股差七自乗得四十九倍弦實二十五為五十相減餘一開之得勾股差以差減并而半之為勾以差一減七餘六半得三加差於并而半之為股以差一加七得八半得四也其倍弦為廣袤合弦二十五得五十為廣袤合淳風曰倍弦五得一十為廣袤合鸞言錯也唐寅曰勾廣一袤九股廣二袤八而令勾股見者自乗為其實四實以減之開其餘所得為差以七七自乗得四十九四實大方勾股之中有四方一方之中有方十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一即勾股差一淳風曰十自乗得一百四實者大方廣袤之中有四方若據勾實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八即廣袤差此是股弦差減股弦并餘數若據股實而言一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六即廣袤差此是勾股差減勾弦并餘數鸞言錯也以差減合半其餘為廣以差一減合七餘六半之得三廣也淳風曰以差八六各減合十餘二四半之得一與二也一即股弦差二即勾弦差以差減弦即各袤廣也鸞言錯也減廣於弦即所求也以廣三減弦五即所求差二也淳風曰以廣一與二各減弦五即所求股四勾三也鸞言錯也觀其迭相規矩共為反覆互與通分各有所得然則統叙羣倫𢎞紀衆理貫幽入微鈎深致逺故曰其裁制萬物唯所為之者也通曰君卿所注乃其互見甄鸞重述李淳風言其於率不通者有三錯者有四鸞蓋取其偶合耳大衍之數五十其用四十有九即此積矩之數也中黄太極一藏四用蓍之掛䇿也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股弦亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以弦五除之得勾股弦之羃六此即半其互乗也四其二六是為八羃八羃有八卦之義焉羃六有六爻之義焉八其六爻是為四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃弦羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分損一而為弦羃之一角弦羃之一角三分損一而為矩股之一角也



  弦容股股容勾圖説




  通曰方内之容遞差於二九九之内容八八餘為十七八八之内容七七餘為十五七七之内容六六餘為十三六六之内容五五餘為十一五五之内容四四餘為九四四之内容三三餘為七三三之内容二二餘為五二二之内容一一餘為三是餘之相降莫不差於二也則弦實之容股實股實之容勾實七九之餘所固然矣自弦而推之弦與勾股差并六實三十六其容弦實之餘較弦容股實之餘必増二矣弦與勾弦差并七實四十九其容弦與勾股差并實之餘較其并實容弦之餘必増二矣弦與勾并八實六十四其容弦與勾弦差并實之餘較其并實容弦與勾股差之餘必増二矣弦與股并九實八十一其容弦與勾并實之餘較其并實容

  弦與勾弦差之餘必増二矣自勾而降之勾弦差二實四容於勾實之中其餘較股之容勾必損二矣勾股差一實一容於勾弦差實之中其餘較勾之容勾弦差必損二矣容有大小餘無異同受容者變而容之者亦變故耳
  勾股名義
  勾横也直也弦斜也勾股較勾股相減也弦弦相減也弦弦相減也勾股和勾與股并也弦勾與弦和也弦股與弦併也弦較和弦與勾股較併也弦和和弦與勾股和併也弦和較弦與勾股和相減也弦較較弦與勾股較相減也
  勾股求弦
  式甲乙股四乙丙勾三問甲丙弦幾何曰甲丙弦五術股四自乘得十六勾三自乗得九兩自乗數併之得二十五為實積用少廣章
  開平方法除之得邊五即弦
  又式木長二丈圍之三尺葛生其下纒木七周上與木齊問葛長幾何曰二丈九尺術以木長為勾圍七周共二十一尺為股求葛長為弦
  通曰勾股可互換然必以長者為股短者為勾也
  勾弦求股法
  式乙丙勾三甲丙弦五問甲乙股幾何曰甲乙股四術勾三自乗得九弦五自乗得二十五相減餘十六平方開之得邊四即股也
  又式圓木徑二尺五寸為板欲厚七寸問闊得幾何曰二尺四寸術以圓徑為弦板厚為勾求闊為股也
  通曰圜内切中徑成兩勾股也
  股弦求勾法
  式甲乙股四甲丙弦五問乙丙勾幾何曰乙丙勾三術服四自乗得十六弦五自乗得二十五相減餘九平方開之得邊三即勾也
  又式臺上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸問下方幾何曰九丈一尺二寸術以臺髙為股袤斜為弦求勾以益上方斯得下方也一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜須于求勾倍之且隅與邊尚有不同也
  又式圓池八分魚吞鈎鈎沉在正中水底鈎絲斜至岸長五十尺問水深幾何曰三十尺術以半池徑為股絲斜至岸為弦先以畝法通池八分為一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方開之得圓徑十六步折半得八步通作四十尺為股次以股弦求勾得水深也
  勾與股弦較求股弦
  式乙丙勾二十七甲乙股甲丙弦之較為丙丁九問甲乙股幾何甲丙弦幾何曰甲乙股三十六甲丙弦四十五術勾自乗得七百二十九較九除之得八十一為股弦和和内減較餘七十
  二半之得三十六為股和外加較得九十半之得四十五為弦二術勾自乗得七百二十九較自乗得八十一相減餘六百四十八為實倍較得十八為法除實得三十六為股三術勾自乗較自乗併得八百一十為實倍較為法除之得四十五為弦
  第一術論曰勾羃為丙戊直角方形以較而一即除也
  丙巳直角形即得丙庚邊與甲
  乙甲丙股弦和等何者甲丙弦
  羃之甲辛直角方形内當函一
  股羃一勾冪試於甲辛形内依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與敗羃等而丁辛丁癸兩形并當與勾羃等亦與丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆較也而甲丁與股等丙辛與弦等即丙庚與股弦和等
  第二術論曰勾羃為乙巳直角方形較羃為丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚巳磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚巳磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙弦羃之
  甲癸直角方形内當函一勾羃一股
  羃試於甲癸形内截取丙丑較羃之
  外分作甲五丑癸丑子三直角形即
  丑子與股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并當與勾羃等次各減一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并與乙庚巳磬折形等亦與辛壬直角形等辛乙與寅丑丑丁并等即乙壬與甲丁或寅癸等亦與甲乙等
  通曰第三術勾羃為乙巳直角方形較羃為丙壬直角方形與丙庚等併為巳辛庚
  磬折形為實次倍丙丁較線為辛巳線以為辛巳線以為法除實即得甲丙線也
  又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸適與水面齊問水深幾何曰一丈二尺術半池為勾出水一尺為股弦較引葭至岸為弦水深為股
  又式開門去閫一尺兩門不合二寸問門每扇廣幾何曰五尺零五分術去閫一尺為勾不合二寸半之為股弦較門閫之半為股門廣為弦門廣併不合之半為弦
  又式垣髙一丈倚木齊垣木脚去本以畫記之臥而過畫一尺問畫去牆幾何曰四丈九尺五寸加過畫一尺為木長術垣高為勾過畫一尺為股弦較木長為弦畫去牆為股
  又式圓木鋸深一寸道長一尺問木徑幾何曰二尺六寸術木徑為弦鋸道為勾鋸深為半股弦較半勾自乗得二尺五寸半較除之又加半較
  得徑為弦
  通曰圓内截弧矢求圓徑也甲丙與甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙為全較故丁戊為半較也按此條圖説有誤處
  股與勾弦較求勾弦
  式甲乙股三十六乙丙勾甲丙弦之較為甲丁十八問乙丙勾幾何甲丙弦幾何曰乙丙勾二十七甲丙弦四十五術股自乗得一千
  二百九十六較除之得七十二為勾弦和和内減較餘五十四折半二十七為勾和外加較得九十折半四十五為弦
  通曰勾與股弦較求股弦之第二術第三術此亦可用第一術論曰股羃為甲巳直角方形以較而一為甲辛
  直角形即得甲壬邊與乙丙丙甲勾弦
  和等何者甲丙弦羃之甲丑直角方形
  内當函一股羃一勾羃試於甲丑形内
  截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等
  即卯丑辰丙俱與等乙丙勾之丁丙線等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與勾等勾羃也即甲夘夘辰兩形當與股羃等亦當與甲辛形之甲壬邊與勾弦和等
  第二術論曰股羃為甲戊直角方形較羃為丁庚直角
  方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折
  形為實次倍甲丁較線為乙寅線以
  為法除實即得乙子直角形與甲壬
  戊磬折形等何者乙子直角形加一
  等較羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即與股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙弦羃之甲辰直角方形内當函一勾羃一股羃試於甲辰形内截取丁庚較羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三線各與甲丁較線等庚申未戌未辰午酉四線各與等乙丙勾之丁丙線等夫未酉酉戌并與勾等即申未未酉并亦與勾等而庚申未辰各與勾等即庚未未午兩形并為勾羃而丁庚午丁兩形并為股羃矣丁戌戍酉兩較也乙夘夘寅亦兩較也而丁丙與乙丙原等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁并與子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形與股羃之甲戊形等此兩率者各減一等較羃之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等
  通曰甲乙股羃之甲戊直角方形與甲丁較羃之丁庚直角方形并為巳癸卯磬折形也此第三術也
  弦與勾股較求勾股法
  式甲丙弦四十五甲乙股乙丙勾之較為甲丁九問乙丙勾幾何甲乙股幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六術弦自乗得二千零
  二十五倍之得四千零五十較自乗得八十一相減餘三千九百六十九為實平方開之邊得六十三為勾股和和外加較得七十二半之得三十六為股和内減較餘五十四半之得二十七為勾二術較自乗得八十一折半得四十零五與弦自乗二千零二十五相減餘一千九百八十四五折半得九百九十二二五開平方邊得三十一五減半較四五餘二十七為勾三十一五加半較四五得三十六為股
  第一術論曰弦羃為甲戊直角方
  形倍之為己丙直角形較羃為甲
  庚直角方形與甲辛等相減即得
  減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得勾股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形并等即甲戊弦羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙兩弦羃内有兩甲乙羃兩乙丙羃也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形其丑寅與夘辰兩形兩股羃也丙壬與癸子兩形兩勾羃也而丑寅夘辰之間則重一等甲辛之夘寅形減之即丑辰直角方形與己辛丙磬折形等矣乙丙為勾丙丑與甲乙等故乙丑邊即勾股和也若於乙丙勾加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙勾
  通曰第二術較羃為甲辛直角方形
  半之為甲戊直角形與甲庚直角形
  等弦羃為甲壬直角方形減較羃半
  甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
  午未磬折形與辰子丙磬折形等而子未直角方形與甲午直角方形等也癸午未磬折形開方得丑寅直角方形與辰子丙磬折形開方得卯乙直角方形等也即得丑乙線與巳乙線等而丑丙線與甲巳線等即半較線也乙丑線内減等半較之丑丙線得乙丙勾己乙線外加半較甲巳線得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故於甲壬直角方形内減等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅兩直角方形也
  勾與股弦和求股弦
  式乙丙勾二十七丙甲甲乙股弦和八十一問甲乙股幾何甲丙弦幾何曰甲乙股三十六甲丙弦四十五術勾自乗得七百二十九
  股弦和八十一除之得九為股弦較較加和八十一得九十半之得四十五為弦較減和八十一餘七十二半之得三十六為股二術勾自乗與和自乗六千五百六十一相減餘五千八百三十二為實倍和得一百六十二為法除之得三十六為股三術勾和各自乗相併得七千二百九十為實倍和為法除之得四十五為弦通曰第二術減餘第三術併後若俱折半為實即以和為法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八與和自乗相減餘五千一百零三為實以和八十一除之得六十三為勾股和減勾餘股以股減八十一餘弦
  第一術形論同勾與股弦較求股弦第一術
  通曰第二術以股弦和作庚乙一直線自之為乙丁直角方形次用股弦度相減取辛甲兩點從辛從甲作辛壬甲癸兩平行線依此法作戊子丑巳兩平行線即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬較股矩内直角形四寅辰較羃一也
  今欲於丁乙全形中減一乙丙勾之羃則於庚辰弦羃内存庚寅股羃而減丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰弦羃内當函一股羃一勾羃也又戊午與午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形於丁乙全形内減之餘庚壬甲夘兩形并又半得甲夘形為實倍法不如折實以等股弦和之乙夘線為法除之得甲乙股通曰第三術勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
  又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺問折處髙幾何曰四尺又二十分尺之十一術竹高為股弦和去根三尺為勾折處為股
  股與勾弦和求勾弦
  式甲乙股三十六乙丙丙甲勾弦和七十二問乙丙勾幾何甲丙弦幾何曰乙丙勾二十七甲丙弦四十五術股自乗得一千二百九
  十六和七十二除之得十八為勾弦較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得九十半之得四十五為弦
  通曰勾與股弦和求股弦之第二術第三術此亦可用第一術形論同股與勾弦較求勾弦第一術第二術形論同勾與股弦和求股弦第二術
  弦與勾股和求勾股法
  式甲丙弦四十五甲乙乙丙勾股和六十三問甲乙股幾何乙丙勾幾何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七術弦自乗得二千零二十五倍
  之得四千零五十與和自乗得三千九百六十九相減餘八十一為實平方開得九為勾股較較減和餘五十四半之得二十七為勾較加和得七十二半之得三十六為股
  通曰弦和各自乗相減又減弦自乗餘開方得較亦合論曰以勾股和作甲丁一直線自之為甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳兩股羃乙寅庚壬兩勾羃而甲辛癸巳之間重一癸辛直
  角方形夫甲丙弦之羃既與勾股兩羃并等以減甲巳形内之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少於弦羃者為癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也則丑辛較也
  勾弦較與股弦較求勾股弦
  式甲乙勾弦較十八戊丙股弦較九問乙丙勾甲乙股甲丙弦各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙弦四十五術勾弦較十
  八與股弦較九相乗得一百六十二倍之得三百二十四為實開平方得十八為弦和較加勾弦較十八得三十六為股弦和較加股弦較九得二十七為勾用勾股求弦法得四十五為弦或以勾弦較十八并勾得弦或以股弦較九并股得弦
  論曰股弦較甲丁九自之得八十一為己庚直角方形勾弦較乙戊十八自之得三百二十四為辛壬直角方
  形兩羃并得四百零五以九減十
  八餘九即勾股較自之得八十一
  為乾兌直角方形元設兩較互乗
  為癸戊子丑兩直角形并得三百
  二十四以減四百零五亦得八十
  一何以知之癸戊子丑三百二十
  四為實開方得十八之寅夘直角方形邊則弦和較也凡直角三邊形之弦羃必與勾股兩羃并等甲乙丙既直角形則甲乙乙丙兩羃并必與甲丙羃等今於甲乙股加甲辰弦丙乙勾加乙午弦甲丙弦加丙未勾未申股各作一直線以此三和線作一三邊形即甲申上之
  甲酉直角方形必不等於丙午上
  之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
  直角方形并而此不相等之較必
  勾股較羃之八十一也何者若於
  甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
  元設勾股勾股弦分之即甲酉形
  内有弦羃一股羃一勾羃一股弦矩内形二勾弦矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有弦羃一股羃一股弦矩内形二丙戌形内有弦羃一勾羃一勾弦矩内形二次以甲酉内諸形與乙亥丙戍内諸形相當相抵則甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存弦羃一次以此兩存形相當相抵則一弦羃之大於兩勾股矩内形必勾股較羃之
  八十一也何者一弦羃内函一勾羃一股羃今試如上圖任作一甲乙弦羃其乙丙為勾羃則丁丙戊磬折形必與股羃等乙巳為股羃則丁巳戊磬折形必與勾羃等次以乙庚辛壬兩勾股矩内形輳一角依角旁兩邊縱横交加於弦羃之上即得勾股之較羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃補其等勾羃之丁己戊磬折形則甲乙弦羃之大於乙庚辛壬兩勾股矩内形必丙巳勾股較羃矣故知第二圖乙亥或丙戌内與甲酉内兩存形之較必勾股較羃之八十一也則乙亥丙戍兩形并其大於甲酉形亦勾股較羃之八十一也今於第一圖辛壬較羃内減勾股較羃八十一之乾兊直角方形其所存乾離震兌兩餘方形及離震己庚兩直角方形并必與癸戊子丑兩形并等次以癸戊子丑兩形開方為寅夘形則減寅夘之甲酉形與減辛壬之丙戌形減巳庚之乙亥形并必等而減寅夘之甲酉形内元有弦羃如甲寅者四有弦偕寅卯形邊矩内形如寅未者四減辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾弦較矩内形如辛坎者四減巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股弦較矩内形如甲己者四今以四弦羃當四勾羃四股羃則甲己辛坎兩形并必與寅未形等甲丙與未申等弦也丙申勾股和也則兩弦間等寅卯形邊之丙未不得不為弦和較矣既得丙未十八為弦和較即以元設丙較相加可得勾股弦各數也何者未申弦也未艮勾弦較也艮申勾也丙申勾股和也於丙申勾股和減艮申勾則丙未加未艮之丙艮股也丙甲弦也丙坤股弦較也坤甲股也未甲勾股和也於未甲勾股和減坤甲股則未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲則弦也又式户不知髙廣竿不知長短横之不出四尺縱之不出二尺斜之適岀問髙廣斜各幾何曰髙八尺廣六尺斜一丈術横不出四尺為勾弦較縱不出二尺為股弦
  股弦和與勾弦和求勾股弦
  式乙甲甲丙股弦和八十一乙丙丙甲勾弦和七十二問乙丙勾甲乙股甲丙弦各幾何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙弦四十五術股弦和八十一與勾弦和七十二相乗得五千
  八百三十二倍之得一萬一千六百六十四為實開平方邊得一百零八為弦和和減勾弦和餘三十六為股弦和和減股弦和餘二十七為勾用勾股求弦法得四十五為弦
  論曰兩和相乗為乙巳
  直角形倍之為丁戊直
  角形以為實平方開之
  得己庚直角方形與丁
  戊等即其邊為弦和和
  者何也丁戊全形内有弦羃二股弦矩内形勾弦矩内形勾股矩内形各二與己庚全形内諸形比各等獨丁戊形内餘一弦羃己庚形内餘一勾羃一股羃并二較一亦等即己庚方形之各邊皆弦和和
  勾與弦較和求股弦弦較和者弦與勾股較和也
  式勾二十七弦與勾股較和五十四問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術勾自乗得七百二十九為實勾和并得八十一為股弦和除實得九為股弦較加股弦和得九十半之得四十五為弦股較減股弦和得七十二半之得三十六為股
  勾與股較和求股弦股較和者股與勾弦較和也
  式勾二十七股與勾弦較和五十四問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術通曰同勾與弦較和法葢弦與勾股較和為五十四股與勾弦較和亦五十四也
  股與弦較和求勾弦弦較和者弦與勾股較和也
  式股三十六弦與勾股較和五十四問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和餘十八為勾弦較除實得七十二為勾弦和加勾弦較得九十半之得弦弦和減勾弦較餘五十四半之得勾
  股與勾較和求勾弦勾較和者勾與股弦較和也
  式股三十六勾與股弦較和三十六問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股與和并得七十二為勾弦和除實得十八為勾弦較加勾弦和得九十半之得弦弦較減勾弦和餘五十四半之得勾
  弦與勾較和求勾股法勾較和者勾與股弦較和也
  式弦四十五勾與股弦較和三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰弦自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實弦與和并得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和又以弦和并八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾按此法當取勾股較今用弦和并盖數偶合非法也
  弦與股較和求勾股法股較和者股與勾弦較和也
  式弦四十五股與勾弦較和五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰弦自乗倍之得四千零五十為實弦與和相減餘九又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九下同弦與勾較和求勾股法勾與弦和和求股弦弦和和者弦與勾股和和也
  式勾二十七弦與勾股和和一百零八問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減和餘八十一為股弦和除實得九為股弦較減股弦和餘七十二半之得股股弦較加股弦和得九十半之得弦
  勾與股和和求股弦股和和者股與勾弦和和也
  式勾二十七股與勾弦和和一百零八問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術通曰同勾與弦和和法葢和皆一百零八也
  股與弦和和求勾弦弦和和者弦與勾股和和也
  式股三十六弦與勾股和和一百零八問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減和得七十二為勾弦和除實得十八為勾弦較減勾弦和餘五十四半之得勾勾弦較加勾弦和得九十半之得弦
  股與勾和和求勾弦勾和和者勾股弦和和也
  式股三十六勾與股弦和和一百零八問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術通曰同股與弦和和法葢和數相同也
  弦與勾和和求勾股法勾和和者勾與股弦和和也
  式弦四十五勾與股弦和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰弦自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實弦減和餘六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較減勾股和餘五十四半之得勾勾股較加勾股和得七十二半之得股
  弦與股和和求勾股法股和和者股與勾弦和和也
  式弦四十五股與勾弦和和一百零八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同弦與勾和和法蓋和數相同也
  勾與弦和較求股弦弦和較者弦與勾股和較也
  式勾二十七弦與勾股和較十八問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減較餘九為股弦較除實得八十一為股弦和加股弦較得九十半之得弦弦和減股弦較餘七十二半之得股又式勾股田一段内容圓池一口徑六步只云勾八步問股弦各幾何曰股十五步弦十七步術容圓徑即弦和較勾與股和較求股弦股和較者股與勾弦和較也
  式勾二十七股與勾弦和較三十六問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術通曰同勾與弦和較法葢以勾減弦與勾股和較十八餘九以勾減股與勾弦和較三十六餘亦九也股與弦和較求勾弦弦和較者弦與勾股和較也
  式股三十六弦與勾股和較十八問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術股自乗得一千二百九十六為實股減較餘十八為勾弦較除實得七十二為勾弦和加勾弦較得九十半之得弦弦和減勾弦較餘五十四半之得勾股與勾和較求勾弦勾和較者勾與股弦和較也
  式股三十六勾與股弦和較五十四問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術通曰同股與弦和較法葢以股減弦與勾股和較十八餘十八以股減勾與股弦和較五十四餘亦十八也弦與勾和較求勾股法勾和較者勾與股弦和較也
  式弦四十五勾與股弦和較五十四問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰弦自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實弦減較餘九為勾股較又自乗得八十一與實相減餘三千九百六十九開平方得六十三為勾股和加勾股較得七十二半之得股勾股和減勾股較餘五十四半之得勾弦與股和較求勾股法股和較者股與勾弦和較也
  式弦四十五股與勾弦和較三十六問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同弦與勾和較法葢以弦減勾與股弦和較五十四餘九以弦減股與勾弦較三十六餘亦九也勾與弦較較求股弦弦較較者弦與勾股較較也
  式勾二十七弦與勾股較較三十六問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術勾自乗得七百二十九為實勾減弦較較餘九為股弦較除實得八十一為股弦和減股弦較餘七十二半之得股股弦和加股弦較得九十半之得弦
  勾與股較較求股弦股較較者股與勾弦較較也
  式勾二十七股與勾弦較較十八問股弦各幾何曰股三十六弦四十五術通曰同勾與弦較較法葢以勾減弦較較三十六餘九以勾減股較較十八餘亦九也
  股與弦較較求勾弦弦較較者弦與勾股較較也
  式股三十六弦與勾股較較三十六問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術股自乗得一千二百九十六為實股并弦較較得七十二為勾弦和除實得十八為勾弦較加勾弦和得九十半之得弦弦較減勾弦和餘五十四半之得勾股與勾較較求勾弦勾較較者勾與股弦較較也
  式股三十六勾與股弦較較十八問勾弦各幾何曰勾二十七弦四十五術通曰股自乗得一千二百九十六為實股減勾較較餘十八為勾弦較除實得七十二為勾弦和下同股與弦較較法
  弦與勾較較求勾股法勾較較者勾與股弦較較也
  式弦四十五勾與股弦較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰弦自乗得二千零二十五倍之得四千零五十為實弦并勾較較得六十三為勾股和又自乗得三千九百六十九與實相減餘八十一開平方得九為勾股較加勾股和得七十二半之得股勾股較減勾股和餘五十四半之得勾弦與股較較求勾股法股較較者股與勾弦較較也
  式弦四十五股與勾弦較較十八問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術通曰同弦與勾較較法葢較數相同也通曰和較變窮而勾股之用無窮形同法異形異法同非精義不能入神也
  有積勾股之二
  有積勾股較求勾股弦
  式有積九百七十二勾股較為甲戊九問勾股弦各幾何曰勾二十七股三十六弦四十五術較自乗得八十一積四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九開平方得六十三為
  勾股和加較九得七十二半之得股勾股和減較九餘五十四半之得勾求得弦二術積較為從方開之得勾較為減從方開之得股俱詳少廣又以積二因得一千九百四十四加較自乘八十一得二千零二十五開方得弦
  通曰子較羃也丑    通曰子較羃也
  寅卯辰四因積也    丑寅并與卯等
  各邊皆勾股和     二因積也合之
  為弦
  通曰較為從方者九回二十七得二
  百四十三為較勾矩以減積九百七
  十二餘七百二十九為勾羃較為減
  從方者九回三十六得三百二十四為較股矩以并積九百七十二得一千二百九十六為股羃
  有積勾股和求勾股弦
  式有積九百七十二勾股和為丙乙乙甲六十三問勾股弦各幾何曰勾二十七股三十六弦四十五術積四因得三千八百八十八
  和自乗得三千九百六十九相減餘八十一開平方得九為勾股較加和得七十二半之得股勾股較減和餘五十四半之得勾勾股求得弦二術積二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相減餘二千零二十五開平方得弦
  有積弦求勾股法
  式有積四百八十六弦為甲丙四十五問勾股各幾何曰勾二十七股三十六術積四因得一千九百四十四弦自乗得二千零二十
  五相減餘八十一開平方得九為勾股較又以積倍之得九百七十二以較九為從方開之得勾勾弦求得股通曰以較為減從方開之亦得股
  有率勾股之三
  勾與股率勾弦和率求股弦
  式勾十股率三勾弦和率七問股弦各幾何曰股一十零五弦一十四五術以勾弦和率自乗得四十九為勾弦和準以股率自乗得九并勾弦和準得五十八折半得二十九為弦準二率相乗得二十一為股準以弦準二十九減勾弦和準四十九餘二十為勾準以弦準二十九乗勾一十得二百九十以勾準二十除之得一十四五為弦以股準二十一乗勾一十得二百一十以勾準二十除之得一十零五為股
  通曰此遲速相較也速巳七遲止三為率速者於乙至丙又於丙至申遲者於
  乙至甲同在乙起同至甲㑹也按此圖應在又式後
  又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙東行甲南行十步斜向東行㑹乙問各行幾何曰甲南行斜行共二十四步半乙東行十步半術甲南行勾也斜行弦也又東行股也甲行七勾弦和率也乙行三股率也
  容方與勾股率求勾股弦
  式容方徑一千五百股率三勾弦和率五問勾股弦各幾何曰勾二千三百股四千三百一十二五弦四千八百八十七五術以勾弦和率自乗得二十五為勾弦和準股率自乗得九并勾弦和準得三十四半之得十七為弦準二率相乗得十五為股準以弦準十七減勾弦和準二十五餘八為勾準以勾準乗容方徑得一萬二千以股準十五除之得餘勾八百加容方徑得二千三百為勾以弦準十七乗勾二千三百得三萬九千一百以勾準八除之得四千八百八十七五為弦以股準十五乗勾二千三百得三萬四千五百以勾準八除之得四千三百一十二五為股
  通曰此亦遲速相較也速五遲三速
  於乙過丙至甲遲於乙至甲同在乙
  起同至甲㑹乙戊乙巳皆容方徑方
  也乙過戊至丙勾也戊丙餘勾也乙過丙至甲勾弦和也乙過巳至甲股也己甲餘股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也按此圖應在又式後
  又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙東行率三甲南行率五乃斜磨邑東南角與乙㑹問各行幾何曰甲南行二千三百步邑中一千五百步南門外八百步斜行四千八百八十七步半乙東行四千三百十二步半邑中一千五百步東門外二千八百十二步半術南行勾也南門外餘勾也斜行弦也東行股也東門外餘股也邑中至門皆容方徑也甲行五勾弦和率也乙行三股率也
  容方勾股之四
  勾股容方法
  式勾二十七股三十六問丁戊容方徑幾何曰丁戊容方徑一十五四二八術勾股相乗得九百七十二為實勾股相并得六十三為
  法除實得一十五四二八為容方徑即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
  論曰甲乙股乙丙勾相乗為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并為法即成甲戊線除實得戊巳邊
  十五四二八即成甲戊己庚直角
  形等甲乙丙丁形而己庚邊截乙
  丙勾於癸截甲丙弦於壬成乙辛
  壬癸滿勾股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿勾股之直角方形
  通曰勾股稍近者容方大勾股懸逺者容方小
  又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊己各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊己亦各與方形邊等則辛乙癸壬
  為直角方形
  容圓勾股之五
  勾股容圓法
  式甲乙股六百乙丙勾三百二十問丁乙容圓徑幾何曰丁乙容圓徑二百四十術勾股相乗得一萬九千二百倍之得三萬八千四
  百為實别以勾股求弦得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百為法除實得二百四十為容圓徑即乙至丁也子丑寅夘皆與乙丁等
  通曰容圓徑即弦和較也勾股和求弦減和餘亦容圓徑也
  論曰甲乙
  股乙丙勾
  相乗即甲
  乙丙丁直
  角形倍之
  為實即丙
  丁戊巳直角形求得甲丙弦并勾股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與弦等得甲辛為弦和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊己形等而壬癸邊截乙丙勾於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑何者謂於甲乙丙三邊直角形内作一圜其甲丙弦截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子丑丑寅寅乙諸邊皆為切圜線也又何以顯此五邊之切圜線試於甲乙丙形上復作一丙午未直角三邊形交加其上其午丙與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次於戍酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加於甲乙丙形之上亦以午申酉戍為容圓徑次於亥戍寅丑兩線引之遇於乾又成乾寅亥直角三邊形以亥為同角交加於甲乙丙形之上亦以乙子丑寅為容圓徑次作丙兑線遇諸形之交加線於離於兑次作甲震線遇諸形之交加線於㢲於震次作亥辰線遇諸形之交加線於坎於辰次作未乾線遇諸形之交加線於艮於卯而四線俱相遇於坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戍離丙子離又等為直角戍離丙子離丙又俱小於直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等則丙兑線必分甲丙未角為兩平分矣又子離與戍離兩邊既等子離震戌離卯兩交角又等夘戌離震子離又等為直角即卯離戍離震子之各邊各角俱等而兩形亦等又子離與離戍兩邊既等離卯與離震兩邊又等即子卯與戍震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離夘戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等為直角即卯丑辰震酉坎之各邊各角俱等而兩形亦等依顯午㢲辰與坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等㢲寅兑與兑艮申之各邊各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二則減丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙弦則一百七十也次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戍卯既等為直角丑卯辰戍夘離兩交角又等丑卯與戌夘復等即兩形必等而其各邊各角俱等依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌皆四十八也則酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙與戌酉等子丙與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲㢲午甲㢲寅兩形之甲寅甲午既等甲㢲同線甲午㢲甲寅㢲又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也甲乙丙一形内既以丙兑線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇於坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邊而為甲乙丙直角三邊形之内切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑展轉論之則各大直角三邊形内之分角線皆分本角為兩平分皆遇於坤而坤心圜為各形之内切圜即兩直角方形邊為各勾股形内之容圓徑通曰容方容圓勾股測算之樞機也先衍其㮣於此詳後二卷











  數度衍卷六

本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1929年1月1日之前出版。

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